信息处理 - 带盒滤波器的信号卷积解析解 - 吾爱随笔录

信息处理过滤器卷积线性系统

2022-02-09 01:42:55

我有一个练习，我试图过滤输入信号 $y(x) = \sin(x)$ . 理想情况下，我想对这个信号应用一个箱形滤波器。

以前，我成功地对输入信号进行卷积 $y(x)$ 响应衰减 $h(x) = e^{-x}$ .

我通过以下卷积的定义来做到这一点（例如，积分 $\int_0^t\sin(x')e^{-(x-x')}\mathrm{d}x'$ 并计算阻尼正弦信号。

我的盒子过滤器由 $\frac{1}{\Delta}$ 为了 $|x-\xi| \leq \frac{\Delta}{2}$ 和 0 其他地方，其中 $\Delta$ 是过滤器宽度。我知道盒式滤波器是局部平均值，我可以用数字实现它，但我不明白如何像使用阻尼指数“滤波器”那样对其进行分析积分。

我试图采取傅里叶变换 $y(x)$ 和 $h(x)$ 并在傅立叶空间中将它们相乘，但我不知道该怎么做。

谢谢你的帮助。

1个回答

不要过去; 不要收取 200 美元；不要进行傅里叶变换，或者更糟糕的是，FFT

您完全按照任何其他卷积的方式进行卷积：从基本卷积积分（不是您编写的内容）开始，并应用您正在使用的信号的属性来进行更简单的计算。首先

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} y (x^{'}) h (x^{'} - x) d x^{'} \end{matrix}

$\int_{-\infty}^\infty y(x^\prime)h(x^\prime-x)\mathrm dx^\prime\tag{1}$ 并使用结果

h (\cdot)

$h(\cdot)$ 只有当它的参数 (

x^{'} - x

$x^\prime-x$ 在这种情况下）位于区间

[- \frac{Δ}{2}, + \frac{Δ}{2}]

$\left[-\frac{\Delta}2, +\frac{\Delta}2\right]$ . 所以，卷积积分的被积函数是

0

$0$ 每当

x^{'}

$x^\prime$ 是这样的

x^{'} - x > \frac{Δ}{2} ⟹ x^{'} > x + \frac{Δ}{2}

$x^\prime-x > \frac{\Delta}2 \implies x^\prime > x + \frac{\Delta}2$ 或者那个

x^{'} - x < - \frac{Δ}{2} ⟹ x^{'} < x - \frac{Δ}{2} .

$x^\prime-x < -\frac{\Delta}2 \implies x^\prime < x - \frac{\Delta}2.$ 这允许我们简化卷积积分

(1)

$(1)$ 进入

\begin{matrix} (2) & \int_{x - \frac{Δ}{2}}^{x + \frac{Δ}{2}} y (x^{'}) \frac{1}{Δ} d x^{'} \end{matrix}

$\int_{x - \frac{\Delta}2}^{x + \frac{\Delta}2} y(x^\prime)\frac{1}{\Delta}\mathrm dx^\prime\tag{2}$ 我已将非零值替换为

h

$h$ 在积分中节省了一步。你能从这里拿走吗？

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