如果我加入开始的余弦波的傅里叶变换。$s=j\omega$$t=0$

不，你没有。您不能只在拉普拉斯变换的表达式中这仅在虚轴位于拉普拉斯变换的收敛区域 (ROC) 内时才有效。由于给定的拉普拉斯变换在虚轴上有极点，所以虚轴不是 ROC 的一部分（ROC 是）。$s=j\omega$$\textrm{Re}\{s\}>0$

函数的傅里叶变换

$$x(t)=\cos(\omega_0t)u(t)\tag{1}$$

存在于分布意义上，即，如果我们在傅里叶变换的表达式中允许狄拉克脉冲（可能还有它的导数）。

使用阶跃函数的傅里叶变换

$$\mathcal{F}\{u(t)\}=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}\tag{2}$$

和傅里叶变换的调制特性

$$\mathcal{F}\left\{e^{j\omega_0t}u(t)\right\}=\pi\delta(\omega-\omega_0)+\frac{1}{j(\omega-\omega_0)}=Y(\omega)\tag{3}$$

通过注意到左侧时域函数的实部， 我们可以很容易地推导出的傅里叶变换，因此它的傅里叶变换必须是：$(1)$$x(t)$$(3)$$Y(\omega)$

$$\begin{align}X(\omega)&=\frac12\left[Y(\omega)+Y^*(-\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\left[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\right]+\frac{j\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\tag{4}\end{align}$$