信息处理 - 计算滤波器的网络函数 - 吾爱随笔录

信息处理过滤器设计低通滤波器

2022-02-11 06:06:56

给定一个系统，它表现为具有网络功能的一阶滤波器 $H(s)$ . 我们输入：

v_{1} (t) = 1 + 3 \cos (10^{4} t)

$v_1 (t)=1+3\cos(10^4 t)$

我们得到输出：

v_{2} (t) = 1 + 1.5 \cos (10^{4} t - \frac{π}{3})

$v_2(t)=1+1.5\cos \left(10^4 t -\dfrac{\pi}{3}\right)$

说它是什么过滤器，找到它的网络功能 $H(s)$ .

我正在尝试解决这个问题，我通过说滤波器是低通滤波器来解决第一部分，因为连续项在输入和输出中都是守恒的。我假设网络功能将采用以下形式：

H (s) = \frac{κ}{s + a}

$H(s) = \dfrac{\kappa}{s+a}$

我的问题是我必须做什么才能计算常数 $\kappa, a$ 根据过滤器特性？

我试图计算以下频率的放大：

Amplification (ω = 0) = \frac{1}{1} = 1

$\text{Amplification}(\omega=0) =\dfrac{1}{1} = 1$

Amplification (ω = 10^{4}) = \frac{1.5}{3} = 0.5

$\text{Amplification}(\omega=10^4) = \dfrac{1.5}{3} = 0.5$

但我不知道这是否正确，因为输出中余弦的相位不同。

1个回答

您需要考虑系统的频率响应

\begin{matrix} (1) & H (j ω) = \frac{κ}{j ω + a} \end{matrix}

$H(j\omega)=\frac{\kappa}{j\omega+a}\tag{1}$

现在你知道了

\begin{matrix} (2) & H (0) = 1 \end{matrix}

$H(0)=1\tag{2}$ 和

\begin{matrix} (3) & | H (j ω_{0}) | = \frac{1}{2} \end{matrix}

$|H(j\omega_0)|=\frac12\tag{3}$ （和

ω_{0} = 10^{4}

$\omega_0=10^4$ ）。注意

H (0)

$H(0)$ 是实值的，而

H (j ω_{0})

$H(j\omega_0)$ 通常是复值。从（1）和（2）你立即得到

κ = a

$\kappa=a$ . 此外，由于滤波器是稳定的，我们知道

a > 0

$a>0$ （即极点必须位于复合体的左半平面

s

$s$ -飞机）。将 (3) 与 (1) 结合得到

\begin{matrix} (4) & \frac{a}{\sqrt{ω_{0}^{2} + a^{2}}} = \frac{1}{2} \end{matrix}

$\frac{a}{\sqrt{\omega_0^2+a^2}}=\frac12\tag{4}$

你应该很容易从中计算出来 $a$ .

请注意，您不需要相位值来指定系统。应该检查的是相位值是否是您刚刚计算的系统的实际相位值。为此，您需要验证

\begin{matrix} (5) & \arg {H (j ω_{0})} = - \frac{π}{3} \end{matrix}

$\arg\{H(j\omega_0)\}=-\frac{\pi}{3}\tag{5}$

幸运的是，情况确实如此，否则假设（1）将是错误的。我把（5）的证明留给你。

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