TL,DR：低通分量（近似系数，a）的大小比预期的大（倍）。所以我猜测近似子带的8个avatar合二为一。$2^3$

首先，我没有花足够的时间检查代码，所以这可能是部分答案。在执行dualtree3分解时：

zr = rand(64,64,64);
[a,d] = dualtree3(zr,2);

及其反转：

xrec = idualtree3(a,d);

范数非常低，通常约为。所以，从数字上讲，重建是“完美的”。因此，我不会相信低通近似“非常相似”的想法。这将产生更高的相对差异。对于实际的体积处理可能并不重要$\ell_\infty$$10^{-15}$

现在，让我们看看子带。对于d, th 细节子带，一个得到：

  1×2 cell array
    {32×32×32×28 double}    {16×16×16×28 double}

所以你恢复了方向的细节，没关系。它们的大小分别是原始数据的和现在，看看近似值：$28$$2^3$$4^3$

a         32x32x32            262144  double              

奇怪的是，大小确实符合我们的预期。每个低通近似值（3D 中的 8 个）都应该是 size 16×16×16，类似于第二级细节。相反，看起来 8 个低通近似值被打包成一个更大的数组。$2^3$

最后，如果考虑到高通子带是复杂的（因此具有两倍的数组大小），则 3D 双树的全局大小除以原始立方体的大小为

(2*prod(size(d{1}))+2*prod(size(d{2}))+prod(size(a)))/prod(size(zr))

正如预期的那样，产生我通过三层分解获得了相同的结果。对我来说，所有信息都在这里，具有预期的冗余。没有储蓄，不幸的是。收集近似系数并不少见。它在 2D 中很少见（因为有一个形状因子）。这在 3D 中是可能的，因为个近似实例可以很好地适合一个立方体。我在文献中没有提到这一点。$8$$8$

Nick Kingsbury 教授请回答我的问题！

在一维中，来自对偶树 WT 的两棵树 (a) 和 (b) 的低通基函数（缩放函数）往往看起来非常相似，除了它们之间输出采样周期的一半偏移. 因此，将两组低通样本视为来自单个 2x 过采样实数基函数的交错样本通常是最有意义的。

另一方面，来自 (a) 和 (b) 的高通基函数（小波）看起来近似于 Hilbert 函数对。因此它们最符合逻辑地解释为解析基函数的实部和虚部。

因此，对于多尺度小波变换的带通通道，低通通道中的 2 过采样代替了将吐出到实部 + 虚部通道中。当 4 棵树用于 2-D 双树 WT 或 8 棵树用于 3-D 版本时，类似的情况也适用。

我希望这有帮助。请参阅我们 2005 年在 IEEE 信号处理杂志上发表的论文以了解更多详细信息。

[2020 年 9 月 18 日更新]

既然我在上面引用了 Kingsubury 教授的回答，我还应该注意一件事。他在邮件中提到他对dualtree3MATLAB 中的函数并不熟悉。但是，根据我的问题，他给出了上述一般性答案。

@LaurentDuval 是对的。

MATLAB 的dualtree3函数返回执行 3D 双树复小波变换 ( cplxdual3D) 时预期的所有细节和近似子带。但是，dualtree3函数不是返回单独的近似子带，而是将它们全部分组在一个立方体中。

下面，我通过使用 MATLAB 的内置dualtree3函数和cplxdual3DIvan Selesnick 教授的小波工具箱中的函数来解释它。

示例 1：一级分解

我们知道真正的 3D 离散小波变换 (DWT) 返回$1$近似子带和$7$详细的子带。

在实践中，cplxdual3D使用8 个真实的 3D 离散小波变换来实现。因此，在执行一个阶段之后cplxdual3D，我们期望有$1\times8$近似子带和$7\times8$详细的子带。

J = 1; % number of decomposition stage
[Faf,Fsf] = FSfarras; % filterbanks used in the first stage
[af,sf] = dualfilt1; % filterbanks used in the remaining stages

zr = rand(64,64,64); % Input volume

w = cplxdual3D(zr,J,Faf,af);

此函数返回一个名为 的元胞数组中的所有子带w，其中近似的子带可以通过 访问w{J+1}{m}{n}{p}，其中$m,n,p\in\{1,2\}$.

对于上面的例子：

m = 1; n = 1; p = 1;
size(w{J+1}{m}{n}{p})

ans =
    32    32    32

所以，我们有$32 \times 32 \times 32 \times 8$条目作为近似系数。

注意：我不知道为什么，但 MATLAB 的dualtree3函数不支持一级分解。

示例 2：两阶段分解

J = 2
w = cplxdual3D(zr,J,Faf,af);

size(w{J+1}{1}{1}{1})

ans =
    16    16    16

如上例所述，这里我们也有$8$近似子带。所以我们有$16 \times 16 \times 16 \times 8$条目作为近似系数。

如果我们使用 MATLAB 的函数进行类似的实验dualtree3，我们会看到将dualtree3所有近似系数分组在一个大小的立方体中$32 \times 32 \times 32$：

J = 2;
[a,d] = dualtree3(zr,J);
size(a)

ans =
    32    32    32

附加说明：此时，我不知道dualtree3将近似系数按什么顺序放入立方体中。为了找到它，您应该使用相同的滤波器组执行cplxdual3D和dualtree3比较分解的结果，以获取一个小而简单的示例。