机器算法验证 - 估计二项分布的 p 的方差 - 吾爱随笔录

估计二项分布的 p 的方差

机器算法验证可能性方差二项分布

2022-03-08 18:31:55

如何计算从二项分布派生的 p 方差？假设我抛了 n 个硬币，得到了 k 个正面。我可以将 p 估计为 k/n，但是如何计算该估计值中的方差？

我对此感兴趣，以便在比较具有不同试验次数的点之间时可以控制比率估计的差异。当 n 更大时，我更确定 p 的估计值，所以我希望能够模拟估计值的可靠性。

提前致谢！

例子：

40/100。p 的 MLE 为 0.4，但 p 的方差是多少？
4/10。MLE 仍为 0.4，但估计值不太可靠，因此 p 应该有更大的方差。

1个回答

如果是的MLE是。 $X$ $\text{Binomial}(n, p)$ $p$ $\hat{p} = X/n$

二项式变量可以被认为是伯努利随机变量的总和。其中。 $n$ $X = \sum_{i=1}^n Y_i$ $Y_i\sim\text{Bernoulli}(p)$

所以我们可以计算 MLE的方差为 $\hat{p}$

\begin{aligned} Var [\hat{p}] & = Var [\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} V a r [Y_{i}] \\ = \frac{1}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} p (1 - p) \\ = \frac{p (1 - p)}{n} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{Var}[\hat{p}] &= \text{Var}\left[\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i\right]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n Var[Y_i]\\ &= \dfrac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n p(1-p)\\ &= \dfrac{p(1-p)}{n} \end{align*}$

因此，您可以看到 MLE 的方差随着接近 0 或 1时它也变小。就时最大化。 $n$ $p$ $p$ $p=0.5$

对于一些置信区间，您可以查看二项式置信区间

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