回想一下$e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

所以$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

现在让，我们有：$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

现在记录双方的日志

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

或者：

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ （其中）$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$（因为）$\ln(t+1)\leq t$

现在考虑双方的期望：

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

插图（显示与 Jensen 不等式的联系）：

（这里 X 和 Y 的角色互换，以便它们匹配绘图轴；更好的规划会在上面交换它们的角色，以便绘图更直接地匹配代数。）

实色线代表每个轴上的平均值。

正如我们所看到的，因为关系在中间“向”弯曲（并且“远离”的平均值（橙色水平线）在到达曲线之前会走得更远一点（给出小间隙（用蓝色标记) 在我们看到的 log(mean(y)) 和 mean(log(y)) 之间。$X$$Y$$Y$