机器算法验证 - （整个）函数期望的泰勒级数近似何时收敛？ - 吾爱随笔录 - 问答

（整个）函数期望的泰勒级数近似何时收敛？

机器算法验证期望值近似

2022-03-17 11:35:56

取一个期望的形式 $E(f(X))$ 对于一些单变量随机变量 $X$ 和一个完整的功能 $f(\cdot)$ （即收敛区间为整条实线）

我有一个矩生成函数 $X$ 因此可以很容易地计算整数矩。使用泰勒级数 $\mu \equiv E(x)$ 然后根据一系列中心矩应用期望，

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$ 截断这个数列，

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

我的问题是：在随机变量（以及 $f(\cdot)$ 上的任何附加条件）的什么条件下，当我添加项时，期望的近似值会收敛（即 $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ )。

由于我的情况似乎没有收敛（泊松随机变量和 $f(x) = x^{\alpha}$ ），当这些条件失败时，是否还有其他技巧可以找到整数矩的近似期望？

2个回答

根据你的假设是实分析的，几乎肯定（事实上肯定）收敛到。 $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

作为收敛意味着期望收敛的标准条件，即是那个对于一些使得。（支配收敛定理。）

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

如果幂级数绝对收敛，则此条件成立，即 E

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

您的泊松随机变量示例和，表明上述绝对极限标准的可积性通常是最弱的。 $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

如果函数 f(x) 允许幂级数展开，即所有导数都存在，则近似值将收敛。如果特定阈值及以上的导数为零，也将完全实现。您可以参考 Populis[3-4] 和 Stark 和 Woods [4]。

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