机器算法验证 - 概率是否与均值相等？ - 吾爱随笔录 - 问答

概率是否与均值相等？

机器算法验证期望值

2022-03-09 12:11:22

假设是具有支持的随机变量。假设的期望是。 $X$ $f(x)$ $(-\infty,\infty)$ $X$ $\mathbb{E}(X)=\lambda$

总是真的吗

\int_{- \infty}^{λ} f (x) d x = \frac{1}{2}

$\int_{-\infty}^{\lambda} f(x)dx = \frac{1}{2}$

\int_{λ}^{\infty} f (x) d x = \frac{1}{2}

$\int_\lambda^{\infty}f(x)dx = \frac{1}{2}$

4个回答

不。

在您的积分方程中，是中位数，而不是平均值。中位数和均值可能相等（例如正态分布），但不一定如此。 $\lambda$

作为反例，考虑。 $X\sim exp(1)$

我对你在证明上的挣扎并不感到惊讶，因为这不成立。

作为一个简单的反例（支持实际上是整个实线），考虑两个具有不同均值和不相等权重的法线的混合。例如，的平均值为，但是： $0.25\times N(0,0.1)+0.75\times N(1,0.1)$ $0.75$

> library(EnvStats)
> pnormMix(q=0.75,mean1=0,sd1=.1,mean2=1,sd2=.1,p.mix=0.25)
[1] 0.7515524

这是不正确的，因为正如其他人所说，中位数不一定等于平均值。

是什么，如果你使用累积分布函数，是 $\mathbb E[X]=\lambda$ $F(x)$

\int_{- \infty}^{λ} F (x) d x = \int_{λ}^{\infty} (1 - F (x)) d x

$\int_{-\infty}^{\lambda} F(x)\,dx = \int_\lambda^{\infty}(1-F(x))\,dx$ 所以用密度函数

\int_{x = - \infty}^{λ} \int_{y = - \infty}^{x} f (y) d y d x = \int_{x = λ}^{\infty} \int_{y = x}^{\infty} f (y) d y d x

$\int_{x=-\infty}^{\lambda}\int_{y=-\infty}^{x} f(y)\,dy\,dx = \int_{x=\lambda}^{\infty}\int_{y=x}^{\infty} f(y)\,dy\,dx$

不，但在某些情况下会发生这种情况，例如在高斯中。

实际上，您已经定义了中位数：与该值相比，（数据集的）一半总体较高的数据点（因此另一半低于该相同值）。

您还指出了概率分布的一个很好的定性属性：

考虑一下您从“重尾”分布中提取的正数，例如个人群体中的财富。你的不平等越多（也就是说，大量的穷人和一些非常富有的异常值），那么这个中位数与平均值相比就会越低。这定义了一个形状参数，它对描述概率分布函数在质量上很重要。

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