非中心性参数是$\delta^{2}$，受限模型的投影为$P_{r}$,$\beta$是真实参数的向量，$X$是无限制（真实）模型的设计矩阵，$|| x ||$是规范：

您可以像这样阅读公式：$E(y | X) = X \beta$是以设计矩阵为条件的期望值向量$X$. 如果你对待$X \beta$作为经验数据向量$y$，则其在受限模型子空间上的投影为$P_{r} X \beta$，它给你预测$\hat{y}$来自该“数据”的受限模型。最后，$X \beta - P_{r} X \beta$类似于$y - \hat{y}$并为您提供该预测的错误。因此$|| X \beta - P_{r} X \beta ||^{2}$给出该误差的平方和. 如果受限模型为真，则$X \beta$已经在定义的子空间内$X_{r}$， 和$P_{r} X \beta = X \beta$，使得非中心性参数为$0$.

你应该在 Mardia, Kent & Bibby 找到这个。（1980 年）。多元分析。

我通过蒙特卡洛实验确认了@caracal 的答案。我从线性模型（大小随机）生成随机实例，计算 F 统计量并使用非中心参数计算 p 值

这是R代码（请原谅风格，我还在学习）：

#sum of squares
sum2 <- function(x) { return(sum(x * x)) }
#random integer between n and 2n
rint <- function(n) { return(ceiling(runif(1,min=n,max=2*n))) }
#generate random instance from linear model plus noise.
#n observations of p2 vector
#regress against all variables and against a subset of p1 of them
#compute the F-statistic for the test of the p2-p1 marginal variables
#compute the p-value under the putative non-centrality parameter
gend <- function(n,p1,p2,sig = 1) {
 beta2 <- matrix(rnorm(p2,sd=0.1),nrow=p2)
 beta1 <- matrix(beta2[1:p1],nrow=p1)
 X <- matrix(rnorm(n*p2),nrow=n,ncol=p2)
 yt1 <- X[,1:p1] %*% beta1
 yt2 <- X %*% beta2
 y <- yt2 + matrix(rnorm(n,mean=0,sd=sig),nrow=n)
 ncp <- (sum2(yt2 - yt1)) / (sig ** 2)
 bhat2 <- lm(y ~ X - 1)
 bhat1 <- lm(y ~ X[,1:p1] - 1)
 SSE1 <- sum2(bhat1$residual)
 SSE2 <- sum2(bhat2$residual)
 df1 <- bhat1$df.residual
 df2 <- bhat2$df.residual
 Fstat <- ((SSE1 - SSE2) / (df1 - df2)) / (SSE2 / bhat2$df.residual)
 pval <- pf(Fstat,df=df1-df2,df2=df2,ncp=ncp)
 return(pval)
}
#call the above function, but randomize the problem size (within reason)
genr <- function(n,p1,p2,sig=1) {
 use.p1 <- rint(p1)
 use.p2 <- use.p1 + rint(p2 - p1)
 return(gend(n=rint(n),p1=use.p1,p2=use.p2,sig=sig+runif(1)))
}
ntrial <- 4096
ssize <- 256
z <- replicate(ntrial,genr(ssize,p1=4,p2=10))
plot(ecdf(z))