这里不需要近似值。使用矩生成函数的属性，是标准正态，因此与一个 df进行卡方，矩生成函数（对于 .) 然后注意 是定义，所以 我们可以在 R 中通过快速模拟（总是进行模拟检查的好主意）：$X$$X^2$$M_{X^2}(t)=\frac1{\sqrt{1-2t}}$$t<1/2$

$$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}M_X(t)=\E e^{t X}$$ $$\E e^{-X^2}=M_{X²}(-1)=\frac1{\sqrt{1-2\cdot (-1)}}=\frac1{\sqrt{3}}$$

 mean( exp(-rnorm(1E6)^2) )
[1] 0.5774847
 1/sqrt(3)
[1] 0.5773503

在评论中回答：

如果 𝑋 不是标准正态而是正态且均值 和方差。您的方法是否仍然可以使用，或者它是否特定于标准正态分布的情况？$𝜇_𝑋$$𝜎^2_𝑋$

它仍然可以使用。我不会提供完整的细节。首先，简单的案例。然后与标准正常，所以在上面的参数中，你得到参数代替用于 mgf（矩生成函数）。对于完全一般的情况，请参阅例如非中心卡方分布的矩生成函数 (MGF) 并从那里开始工作。$X \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$$X=(\sigma Z)^2$$Z$$-\sigma^2$$-1$

的确切值时，无需“近似” 。让我们应用无意识统计学家定律 (LoTUS) 获得： $\mathbb{E}[f(X)]$

$$\begin{align*} \mathbb{E}[f(X)] &= \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)~dx\\ &= 2\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{3x^2}{2}\right)~dx\\ &= 2\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot\frac{1}{\sqrt{6z}} e^{-z}~dz\\ &= \frac{2}{2\sqrt{3\pi}} \int_0^{+\infty} e^{-z} z^{\frac{1}{2} -1} ~dz\\ &=\frac{1}{\sqrt{3\pi}}\cdot \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{3\pi}}\cdot \sqrt{\pi}\\ &= \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align*}$$

希望这可以帮助。:)