机器算法验证 - 偏度和峰度的无偏估计 - 吾爱随笔录

偏度和峰度定义为：

ζ_{3} = \frac{E [(X - μ)^{3}]}{E [(X - μ)^{2}]^{3 / 2}} = \frac{μ_{3}}{σ^{3}}

$\zeta_3 = \frac{E[(X-\mu)^3]}{E[(X-\mu)^2]^{3/2}} = \frac{\mu_3}{\sigma^3}$

ζ_{4} = \frac{E [(X - μ)^{4}]}{E [(X - μ)^{2}]^{2}} = \frac{μ_{4}}{σ^{4}}

$\zeta_4 = \frac{E[(X-\mu)^4]}{E[(X-\mu)^2]^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4}$

以下公式用于计算样本偏度和峰度：

z_{3} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [(x_{i} - \bar{x})^{3}]}{(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [(x_{i} - \bar{x})^{2}])^{3 / 2}}

$z_3 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^3]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^{3/2}}$

z_{4} = \frac{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [(x_{i} - \bar{x})^{4}]}{(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [(x_{i} - \bar{x})^{2}])^{2}}

$z_4 = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} [(x_i-\bar x)^4]}{(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}[(x_i-\bar x)^2])^2}$

我的问题是：这些估计器是公正的吗？我不知道我应该在分母中使用无偏标准差还是有偏标准差。

一般来说，如果我们有一个函数 $f$ 其变量是无偏估计量，那么我们可以说 $f$ 也是无偏估计量吗？