机器算法验证 - 平均绝对差的上限？ - 吾爱随笔录 - 问答

平均绝对差的上限？

机器算法验证可能性自习期望值平均绝对偏差

2022-03-11 01:58:54

让 $X$ 是 CDF 的可积随机变量 $F$ 和逆 CDF $F^*$ . $Y$ 与 $X$ . 证明

E | X - Y | \leq \frac{2}{\sqrt{3}} σ,

$E|X-Y| \leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sigma,$ 在哪里

σ = \sqrt{V a r (X)} = \sqrt{E [(X - μ)^{2}]}

$\sigma=\sqrt{Var(X)} = \sqrt{E[(X-\mu)^2]}$ .

我正在寻找这个证明的一些提示。

我所拥有的是 $E|X-Y|=2\int_{0}^{1}(2u-1)F^*(u)du$ . 但我不确定这是否是正确的方向。

我也注意到 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 可能与均匀分布的方差有关。

1个回答

定理 3.3 来自 p。“Cerone、Pietro 和 Sever S. Dragomir 的 86。“关于 Gini Mean Difference 界限的调查。”Probability Theory and Statistics (2008) 的不等式进展”指出

R_{G} (f) \leq \frac{2}{(q + 1)^{1 / q}} {[M_{E, p} (f)]}^{1 / p}

$R_G(f) \le \frac{2}{(q+1)^{1/q}}\left[M_{E,p}(f)\right]^{1/p}$
在哪里

R_{G} (f) = \frac{1}{2} E | X - Y |

$R_G(f)=\frac{1}2 E|X-Y|$ ,

p > 1

$p>1$ ,

1 / p + 1 / q = 1

$1/p+1/q=1$ ，和

M_{E, p} (f) = E [| X - μ |^{p}]

$M_{E,p}(f)=E\left[|X-\mu|^{p}\right]$ .
证明很短，使用了 Holder 不等式。现在，备注 3.2 说要采取

p = q = 2

$p=q=2$ 在不等式中找到

R_{G} (f) \leq \frac{2}{\sqrt{3}} σ

$R_G(f) \le \frac{2}{\sqrt{3}}\sigma$
参考资料说这种不平等是已知的，并指的是
https://galton.uchicago.edu/~wichura/stat304/handouts/L09.means3.pdf
但是，我无法访问该网站。它还说明了 Unif(0,1) 分布的上限。参考文献中似乎有印刷错误，因为我认为不等式应该是

R_{G} (f) \leq \frac{1}{\sqrt{3}} σ

$R_G(f) \le \frac{1}{\sqrt{3}}\sigma$ . 有一个

\frac{1}{2}

$\frac{1}2$ 作为基尼平均差定义的一部分

R_{G} (f)

$R_G(f)$ .

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