开发 StubbornAtom 的评论，如果$X_i$是 iid 均匀分布在$[0,\theta]$

你有$n$样本然后是最大似然估计$\theta$是$\hat{\theta}_n=\max\limits_{1\le i \le n}X_i$.

$\hat{\theta}_n$有一个由\theta缩放的$\mathrm{Beta}(n,1)$分布。$\theta$

随着的增加，在分布中收敛到，而不是正态分布。$n$$n\left(\theta-\hat \theta_n\right)$$\mathrm{Exp}\left(\frac1\theta\right)$

或者在手摇的意义上，对于大，最大似然估计近似具有密度为当看起来像$n$$\hat{\theta}_n$$\frac{n x^{n-1}}{\theta^n} \approx \frac n{\theta} \exp\left(\frac{nx}{\theta}-n\right)$$0 < x \le \theta$

显示 MLE 渐近正态性的定理通常取决于 MLE 处于参数空间内部且存在信息函数。 Moran (1971)在非标准条件下检查 MLE，包括参数在边界上时。如果您想要一个重要的示例，那可能是一个不错的选择。