机器算法验证 - 计算截断法线的期望值 - 吾爱随笔录

计算截断法线的期望值

机器算法验证 r 正态分布条件期望截断正态分布截断分布

2022-03-24 15:05:48

使用米尔斯比结果，让 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ ，然后

$E(X| X<\alpha) = \mu - \sigma\frac{\phi(\frac{a- \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}$

但是，在 R 中计算它时，我没有得到正确的结果

> mu <- 1
> sigma <- 2 
> a <- 3 
> x <- rnorm(1000000, mu, sigma) 
> x <- x[x < a] 
> mean(x)
[1] 0.4254786
> 
> mu -  sigma * dnorm(a, mu, sigma) / pnorm(a, mu, sigma)
[1] 0.7124

我究竟做错了什么？

1个回答

您的公式实现是错误的，因为，

ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}} \neq f_{X, μ, σ} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}

$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\neq f_{X,\mu,\sigma}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}$ 如您所见，我们有一个额外的

σ

$\sigma$ 在分母中

f_{X, μ, σ} (x)

$f_{X,\mu,\sigma}(x)$ ，产生：

ϕ (\frac{x - μ}{σ}) = σ f_{X, μ, σ} (x)

$\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\sigma f_{X,\mu,\sigma}(x)$ dnorm方法给你

f_{X, μ, σ} (x)

$f_{X,\mu,\sigma}(x)$ , 你需要将它与

σ

$\sigma$ 获得

ϕ

$\phi$ . 由于您的

σ = 2

$\sigma=2$ ，这实际上可以通过再次减去第二项来完成，即

1 - 0.7124 = 0.2876

$1-0.7124=0.2876$ ：

1 - 0.2876 - 0.2876 = 0.4247

$1-0.2876-0.2876=0.4247$ 这接近您的估计。

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