机器算法验证 - 乙[ec X]E[ecX]在哪里c < 0c<0和XX是对数正态分布的 - 吾爱随笔录 - 问答

乙[ec X]E[ecX]在哪里c < 0c<0和XX是对数正态分布的

机器算法验证自习分布期望值对数正态分布时刻

2022-03-24 01:39:58

我正在尝试计算期望

E [e^{c X}]

$E[e^{cX}]$ 对于任意

c < 0

$c<0$ （为了

c > 0

$c>0$ 期望是无限的）如果

X

$X$ 是对数正态分布的，即

\log (X) \sim N (μ, σ)

$\log(X) \sim N(\mu, \sigma)$ .

我的想法是将期望写成一个整体，但我没有看到如何进行：

E [e^{c X}] = \frac{1}{\sqrt{2 σ π}} \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \exp (c x - \frac{(\log x - μ)^{2}}{2 σ^{2}}) d x

$E[e^{cX}] = \frac{1}{\sqrt{2\sigma\pi}}\int_0^\infty \frac{1}{x}\exp\left(cx - \frac{(\log x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)dx$

我还尝试了Itô公式（实际任务是找到 $E[e^{cX_T} \mid X_t = x]$ 在哪里 $X$ 是一个几何布朗运动，但它简化为上述问题，因为我们正在研究马尔可夫过程），但这看起来也不是很有希望。有谁能够帮我？

1个回答

您想要的是对数正态变量的矩生成函数，这被认为是一个难题。或者，这是拉普拉斯变换，这是您的表达式 $c$ 取而代之 $-c$ . 你应该看看https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution ，它确实有一些有用的信息。

Søren Asmussen、Jens Ledet Jensen 和 Leonardo Rojas-Nandayapa 的论文“关于对数正态分布的拉普拉斯变换”确实给出了以下近似值，他们对此进行了详细研究。让 $X$ 与参数对数正态 $(\mu, \sigma^2)$ ，意思就是 $X=e^Y$ 和 $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ . 拉普拉斯变换是

E (\exp (- θ e^{y}) = e^{- θ μ} E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$E(\exp(-\theta e^y) = e^{-\theta \mu} E(\exp(-\theta e^{Y_0})$ 在哪里

Y_{0} \sim N (0, σ^{2})

$Y_0 \sim N(0,\sigma^2)$ . 所以我们考虑拉普拉斯变换

L (θ) = E (\exp (- θ e^{Y_{0}})

$L(\theta) = E(\exp(-\theta e^{Y_0})$ . 然后他们给出近似值

L (θ)

$L(\theta)$ ：

\frac{1}{\sqrt{1 + W (θ σ^{2})}} \exp {- \frac{1}{2 σ^{2}} W (θ σ^{2})^{2} - \frac{1}{σ^{2}} W (θ σ^{2})}

$\frac1{\sqrt{1+W(\theta \sigma^2)}}\exp\left\{ -\frac1{2\sigma^2} W(\theta \sigma^2)^2 - \frac1{\sigma^2} W(\theta \sigma^2) \right\}$ 在哪里

θ

$\theta$ 是非负的。这里

W

$W$ 是 Lambert W 函数，请参阅https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function 。（然后本文研究了这个近似值的质量，并将其与旧的近似值进行了比较）。

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