让是一个随机过程，它是通过连接来自 AR(1) 过程的 iid 绘制形成的，其中每个绘制是一个长度为 10 的向量。换句话说，是 AR(1) 过程的实现；来自同一个过程，但独立于前 10 个观察值；等等。$\left\{X_t\right\}$$\left\{X_1, X_2, \ldots, X_{10}\right\}$$\left\{X_{11}, X_{12}, \ldots, X_{20}\right\}$

的 ACF——称之为 ——会是什么样子？我期望对于长度为的滞后为零，因为根据假设，10 个观察的每个块独立于所有其他块。$X$$\rho\left(l\right)$$\rho\left(l\right)$$l \geq 10$

但是，当我模拟数据时，我得到了这个：

simulate_ar1 <- function(n, burn_in=NA) {
    return(as.vector(arima.sim(list(ar=0.9), n, n.start=burn_in)))
}

simulate_sequence_of_independent_ar1 <- function(k, n, burn_in=NA) {
    return(c(replicate(k, simulate_ar1(n, burn_in), simplify=FALSE), recursive=TRUE))
}

set.seed(987)
x <- simulate_sequence_of_independent_ar1(1000, 10)
png("concatenated_ar1.png")
acf(x, lag.max=100)  # Significant autocorrelations beyond lag 10 -- why?
dev.off()

为什么在滞后 10 之后自相关还远未达到零？

我最初的猜测是 arima.sim 中的老化时间太短，但是当我明确设置例如 burn_in=500 时，我得到了类似的模式。

我错过了什么？

编辑：也许对连接 AR(1)s 的关注会分散注意力——一个更简单的例子是：

set.seed(9123)
n_obs <- 10000
x <- arima.sim(model=list(ar=0.9), n_obs, n.start=500)
png("ar1.png")
acf(x, lag.max=100)
dev.off()

基本上为零）下，我对显着非零自相关的大块感到惊讶。我可以做？$\rho(l) = 0.9^l$

另一个编辑：也许这里发生的所有事情都是，估计的 ACF，本身是非常自相关的。例如，这里是的联合分布，它们的真实值基本上为零（） ：$\hat{\rho}$$\left(\hat{\rho}(60), \hat{\rho}(61)\right)$$0.9^{60} \approx 0$

## Look at joint sampling distribution of (acf(60), acf(61)) estimated from AR(1)
get_estimated_acf <- function(lags, n_obs=10000) {
    stopifnot(all(lags >= 1) && all(lags <= 100))
    x <- arima.sim(model=list(ar=0.9), n_obs, n.start=500)
    return(acf(x, lag.max=100, plot=FALSE)$acf[lags + 1])
}
lags <- c(60, 61)
acf_replications <- t(replicate(1000, get_estimated_acf(lags)))
colnames(acf_replications) <- sprintf("acf_%s", lags)
colMeans(acf_replications)  # Essentially zero
plot(acf_replications)
abline(h=0, v=0, lty=2)