机器算法验证 - McKay 的二元 Gamma 分布 - 吾爱随笔录 - 问答

McKay 的二元 Gamma 分布

机器算法验证可能性伽马分布双变量联合分配

2022-04-12 09:07:50

给定变量和，它们是相关的，，并且每个都遵循具有不同形状参数的伽马分布，即和。我知道联合 PDF可以通过利用适用于不同形状参数情况的 McKay 的二元伽玛分布来获得。 $X$ $Y$ $X\ge0$ $Y\ge0$ $X\sim\Gamma(a_1,\alpha)$ $Y\sim\Gamma(a_2,\alpha)$ $f_{X,Y}(x,y)$

$\mathbf{First}:$

McKay 的 PDF 具有的条件（反之亦然），这是否意味着在这种情况下（在事件空间中）不存在的情况？ $Y>X$ $Y=X$

$\mathbf{Second}:$

如果我想获得另一个函数的以下平均值，用表示，即 $G(X,Y)$

$\mathbb{E}[G(X,Y)]=\int^\infty_0\int^\infty_0 G(X,Y)f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

适用于和时，我是否需要对个别情况进行平均？ $f_{X,Y}(x,y)$ $X>y$ $X<y$

的情况呢？ $X=Y$

2个回答

对于 McKay 分布是一个 Gamma 变量，它是取自另一个的平方子集的总和，Y是更大的平方集的总和。暗示概率为。参见 McKay 的原始论文： $X$ $Y$ $Y>X$ $1$

McKay, AT (1934)批次抽样。皇家统计学会杂志——增刊 1：207-216。

您可以通过使用像上创建整个联合分布族，使得和为。联合分布是连续的，这意味着事件的概率为零。 $(X,Y)$ $X\sim \Gamma(a_1,\alpha)$ $Y\sim \Gamma(a_2,\beta)$

F_{(X, Y)} (x, y) = P (X \leq x, Y \leq y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{1 + ϱ (1 - F_{X} (x)) (1 - F_{Y} (y))}

$F_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb{P}(X\le x,Y\le y) = \dfrac{F_X(x)F_Y(y)}{1+\varrho (1-F_X(x))(1-F_Y(y))}$

- 1 \leq ϱ \leq 1

$-1\le \varrho \le 1$

X = Y

$X=Y$

现在，如果您有使用McKay 的二元分布的特定原因，使用pdf 给出作为边际，你必须计算作为

f_{(X, Y)} (x, y) = α^{p + q} x^{p - 1} (y - x)^{q - 1} \exp {- α y} / [Γ (p) Γ (q)] I_{0 \leq x \leq y},

$f_{(X,Y)}(x,y) = \alpha^{p+q} x^{p-1} (y-x)^{q-1} \exp\{-\alpha y\} / [\Gamma(p) \Gamma(q)]\,\mathbb{I}_{0\le x\le y} \,,$

X \sim Γ (p, α), Y \sim Γ (p + q, α)

$X\sim \Gamma(p,\alpha)\,,\quad Y\sim \Gamma(p+q,\alpha)$

E [G (X, Y)]

$\mathbb{E}[G(X,Y)]$

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} G (x, y) α^{p + q} x^{p - 1} (y - x)^{q - 1} \exp {- α y} / [Γ (p) Γ (q)] d x d y .

$\int_0^\infty \int_0^y G(x,y)\,\alpha^{p+q} x^{p-1} (y-x)^{q-1} \exp\{-\alpha y\} / [\Gamma(p) \Gamma(q)]\,\text{d}x\,\text{d}y\,.$

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