机器算法验证 - 给定累积分布函数时的期望 - 吾爱随笔录 - 问答

给定累积分布函数时的期望

机器算法验证可能性分布期望值累积分布函数

2022-03-15 13:02:02

这是来自 Saeed Ghahramani 的《随机过程的概率基础》一书，第 249-250 页，它断言，对于任何随机变量 $X$ 那是非负的，期望 $X$ 是

E (X) = \int_{0}^{\infty} [1 - F (t)] d t = \int_{0}^{\infty} P (X > t) d t

$E(X)= \int_{0}^{\infty} [1-F(t)]dt= \int_{0}^{\infty} P(X>t) dt$

在哪里 $F(t)$ 是累积分布函数。不知何故，这等于 $\int_{0}^{\infty}x. P(X=x)dx$ 我没有看到它。虽然书中提供了证明，但我发现它缺乏并且对它并不完全满意。

我希望看到上述表达式的离散模拟的证明

E (X) = \sum_{x = 0}^{\infty} x . P (X = x) = \sum_{x = 0}^{\infty} [1 - F (x)] = \sum_{x = 0}^{\infty} \sum_{y = 0}^{x} P (Y = y)

$E(X) = \sum_{x=0}^{\infty}x. P(X=x)= \sum_{x=0}^{\infty} [1- F(x)] = \sum_{x=0}^{\infty} \sum_{y=0}^{x} P(Y=y)$

这是一个非常基本的概率问题。

1个回答

离散情况，假设 $X \ge 0$ 采用非负整数值。那么我们可以把期望写成

E X = \sum_{k = 0}^{\infty} k P (X = k)

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \E X = \sum_{k=0}^\infty k \P(X=k)$ 现在，我们先把它写成双倍和，然后改变求和的顺序。请注意

k = \sum_{j = 0}^{k - 1} 1

$k = \sum_{j=0}^{k-1} 1$ （案子

k = 0

$k=0$ 给出一个低于下限的上限，我们将其作为空和，即为零）。这给

E X = \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{j = 0}^{k - 1} 1 \cdot P (X = k)

$\E X = \sum_{k=0}^\infty \sum_{j=0}^{k-1} 1 \cdot \P(X=k)$ 现在，在这个双倍和中，我们首先求和

j

$j$ , 这显然是

\infty

$\infty$ . 观察到在内部求和中，指数满足不等式

0 \leq j \leq k - 1

$0 \le j \le k-1$ 解决这个问题

k

$k$ 给

k \geq j + 1

$k \ge j+1$ ，然后在新的内部和中给出求和的限制：

E X = \sum_{j = 0}^{\infty} \sum_{k = j + 1}^{\infty} P (X = k) = \sum_{j = 0}^{\infty} P (X > j)

$\E X = \sum_{j=0}^\infty \sum_{k=j+1}^\infty \P(X=k) = \sum_{j=0}^\infty \P(X > j)$ 这是结果。连续情况类似。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇论过程的平稳性和可逆性下一篇xgboost 如何选择要拆分的功能？