似然函数的定义是一个近似值。通常，您有观测值，它们会受到测量误差的影响。因此，在实践中，您观察，其中是测量误差。因此，如果您有一个 iid 观测样本，则参数概率模型的似然函数写为： $n$$x_j$$x_j\pm\epsilon$$\epsilon\gt 0$$n$${\mathbb P}(;\theta)$

$$L(\theta;x_1,\dots,x_n) = \prod_{j=1}^n {\mathbb P}[(x_j-\epsilon,x_j+\epsilon);\theta].$$

然后，最大似然估计量是使感兴趣样本下的概率最大化的参数值。

假设是与概率相关的分布，那么，你得到$F(;\theta)$${\mathbb P}(;\theta)$

$$L(\theta;x_1,\dots,x_n) = \prod_{j=1}^n \{F[x_j+\epsilon;\theta]-F[x_j-\epsilon;\theta]\}.$$ 如果足够小，根据均值定理，你有$\epsilon$

$$F[x_j+\epsilon;\theta]-F[x_j-\epsilon;\theta]\approx 2\epsilon f(x_j),$$

因此，您获得了似然函数的连续逼近

$$L(\theta;x_1,\dots,x_n) \propto \prod_{j=1}^n f(x_j;\theta).$$

这种关系解释如下：

概率和统计推断 II：002（Universitext）平装本 – 1980 年 1 月 7 日，JG Kalbfleisch

你需要Radon-Nikodym 定理。.

在测度理论问题中，您正在估计在样本集上的 sigma 代数上定义的分布，而不是在样本集本身上。现在假设您有一个参数模型。如果这个模型是由一个有限测度支配的，那么（通过 Radon–Nikodym）我们可以安全地移动到相关的密度函数族，满足。$F_0$$F(\cdot\mid\theta)$$\sigma$$\mu$$f(\cdot \mid \theta)$$F(A\mid\theta) = \int_A f(y\mid\theta) \, d\mu(y)$

显然，如果您的测量值位于模型中每个分布的空集中，则您的模型或您的观察结果是错误的（因为在所有考虑的分布中，您的观察概率为零）。另一方面，如果有一个分布，您的测量值不位于任何空集中，那么它也不能位于的空集中，因此您不能自由地在观察时重新定义密度.$\mu$

但是请注意，保证 MLE 的存在或唯一性。