我试图了解可以证明关于最小方差估计量的内容。我对 Cramér-Rao 以及如何将它应用到非常简单的示例或者在这种情况下它是否是正确的工具感到有些困惑。

让我们假设我们有一些有限集$S$元素，我们只想估计基数$n$的$S$. 我们知道一个上限$N$为基数。一种方法是带放回抽样，计算不同元素的数量，并据此使用以下事实进行估计：$E(\text{number of distinct elements in sample})= n(1-(1-1/n)^x)$， 在哪里$x$是样本的大小。我不知道这是否是一个好方法。另一种是简单的捕获-重新捕获，获取两个样本集并查看它们的交集，但这似乎是计算机做的一件奇怪的事情。

对于这个简单问题，我们如何为任何估计量的方差显示一个严格的下限？如果确实存在，我们如何证明无偏估计量具有最小方差？我描述的抽样方法是最优的吗？

我在数学上问了一个类似但更具体的问题： Fisher Information and minimum variance estimators。