机器算法验证 - Y 的期望值 = (1/X) 其中X∼ G a m m aX∼Gamma - 吾爱随笔录

Y 的期望值 = (1/X) 其中X∼ G a m m aX∼Gamma

机器算法验证自习期望值伽马分布

2022-04-08 11:36:30

我对这里的这个声明有些困惑。让 $T_i \sim Exp(\lambda + \theta)$ 如果他们都是 iid 那么 $\sum_n T_i \sim Gamma(\alpha = n, \beta = 1/(\lambda + \theta))$

我想找到 $E(\frac{1}{\sum_n T_i})$ . 我知道我不能只做倒数 $E(\sum_n T_i)$

我是否整合过 $\int_0^\infty \frac{t}{f(t)} dt$ ?

如果我这样做，我会得到 $\Gamma(\alpha) \beta^\alpha \int_0^\infty \frac{e^{t/\beta}}{t^\alpha} dt$ 而且我不知道这是否是正确的方法，因为我最终得到不完整的伽马？

我知道我应该以 $\frac{\lambda + \theta}{n-1}$ 作为答案，但我不确定伽玛应该如何抵消。

1个回答

的计算 $E\left[X^{-1}\right]$ 什么时候 $X$ 是一个带有阶参数的 Gamma 随机变量 $n$ 和速率参数 $\lambda$ 需要识别另一个Gamma 随机变量的密度（带有 order 参数 $n-1$ 和速率参数 $\lambda$ ) 在无意识统计学家定律给出的积分中 $E\left[X^{-1}\right]$ . 我们有

\begin{aligned} E [X^{- 1}] & = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} \cdot \underset{Γ (n, λ) density}{\underset{⏟}{λ \frac{(λ x)^{n - 1}}{Γ (n)} e^{- λ x}}} d x \\ = λ \frac{Γ (n - 1)}{Γ (n)} \int_{0}^{\infty} \underset{Γ (n - 1, λ) density}{\underset{⏟}{λ \frac{(λ x)^{n - 2}}{Γ (n - 1)} e^{- λ x}}} d x \\ = \frac{λ}{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[X^{-1}\right]&= \int_0^\infty \frac 1x \cdot \underbrace{\lambda \frac{(\lambda x)^{n-1}}{\Gamma(n)}e^{-\lambda x}}_{\Gamma(n,\lambda)~\text{density}}\,\mathrm dx\\ &= \lambda\frac{\Gamma(n-1)}{\Gamma(n)}\int_0^\infty \underbrace{\lambda \frac{(\lambda x)^{n-2}}{\Gamma(n-1)}e^{-\lambda x}}_{\Gamma(n-1,\lambda)~\text{density}}\,\mathrm dx\\ &= \frac{\lambda}{n-1} \end{align}$ 因为对于正整数

k

$k$ ,

Γ (k) = (k - 1)!

$\Gamma(k) = (k-1)!$ .

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