机器算法验证 - 均匀随机变量总和的条件期望？ - 吾爱随笔录 - 问答

均匀随机变量总和的条件期望？

机器算法验证条件概率条件期望

2022-04-08 09:49:23

令上的独立均匀随机变量。有人可以告诉我如何找到以为条件的的期望吗？ $X,Y$ $[0,1]$ $X$ $X+Y \ge (\text{say}) 1.3$

E [X | (X + Y) \geq 1.3]

$E[X | (X+Y) \ge 1.3]$

第一步显然是使用条件期望的定义，但我一直在寻找的表达式。我尝试找到总和的分布（通过卷积），然后使用但这并没有帮助。 $\text{Pr}(X=x | X+Y \ge 1.3)$

Pr (X = x | X + Y \geq 1.3) = \frac{Pr (X = x, x + Y \geq 1.3)}{Pr (x + Y \geq 1.3)}

$\text{Pr}(X=x | X+Y \ge 1.3) = \frac{\text{Pr}(X=x, x+Y \ge 1.3)} {\text{Pr}(x+Y \ge 1.3)}$

1个回答

用图表可能更容易看到发生了什么

所以你的计算将是

\frac{\int_{x = 0.3}^{1} \int_{y = 1.3 - x}^{1} x d y d x}{\int_{x = 0.3}^{1} \int_{y = 1.3 - x}^{1} 1 d y d x} = \frac{23}{30} \approx 0.76666667

$\dfrac{\displaystyle \int_{x=0.3}^{1}\int_{y=1.3-x}^{1} x \,dy \, dx}{\displaystyle \int_{x=0.3}^{1}\int_{y=1.3-x}^{1} 1 \,dy \, dx} = \dfrac{23}{30} \approx 0.76666667$

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