结果是正确的（高达的一个因子，这是一个不重要的印刷遗漏）。这个答案提供了两种单独的方法来仔细检查它。$\sigma$

事实上，我们可以直接得到转换后变量的 PDF：当正好是 Normal 时（而不只是渐近如此），可以找到的 PDF通过集成作为$X_n$$\sqrt{n}\left(g(X_n)-1\right)$

$$\frac{1}{(\sigma/2)\sqrt{2\pi n}} \left(\sqrt{n}+x\right) \exp\left({-\frac{x^2 \left(2 \sqrt{n}+x\right)^2}{2 n \sigma ^2}}\right)$$

对于 （否则等于对于固定的极限值为$x\gt -\sqrt{n}$$0$$x$$n\to\infty$

$$\frac{1}{(\sigma/2)\sqrt{2\pi}} \exp\left({-\frac {8x^2}{2 \sigma ^2}}\right) = \frac{1}{(\sigma/2)\sqrt{2\pi}} \exp\left({-\frac {x^2}{2 (\sigma/2) ^2}}\right),$$

正态分布的 PDF。$(0, \sigma^2/4)$

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可以检查也可以通过模拟检查结果，例如通过以下R代码执行：

set.seed(17)
n <- 10^6
x <- sqrt(n)*(sqrt(rnorm(n, 1, 1/sqrt(n)))-1)
m <- mean(x); v <- var(x); k <- mean((x-m)^4)
se.v <- sqrt(((n-1)^2 * k - (n-1)*(n-3)*v^2) / n^3)
print(v)              # Variance
print((v - 1/4)/se.v) # Its standardized standard error

这报告了模拟方差（当时）为（单位）标准差个标准误：证明计算的方差对于如此大的并不正确。$n=10^6$$0.25015$$0.44$$1/4$$n$