内射性就足够了（只要你的函数是可测量的）

让我们假设$f$是一个可测量的函数，因此所有相关的随机变量和事件都是明确定义的。现在，为了给出更多的结构，假设我们在概率空间中工作$(\Omega, \mathscr{S}, \mathbb{P})$以便$X: \Omega \rightarrow A$是您感兴趣的调节随机变量。自从$f$是一个单射函数它有一个左逆$g: B \rightarrow A$（IE，$g(f(x))=x$对所有人$x \in A$）。因此，对于所有$x \in A$您具有以下事件等价性：

$$\begin{align} \{ \omega \in \Omega | f(X(\omega)) = f(x) \} &= \{ \omega \in \Omega | g(f(X(\omega))) = g(f(x)) \} \\[6pt] &= \{ \omega \in \Omega | X(\omega) = (x) \} \\[6pt] \end{align}$$

这意味着调节$f(X)=x$相当于调节$X=x$. 因此，只要$f$是可测量的，这应该足以获得条件期望的等价性。（这个证明有点复杂，因为你需要通过 Radon-Nikodym 形式来建立条件期望，或者通过关于 sigma 场的定理；这应该不是特别困难。）

如果$Z=f(X)$和$f$是单射函数所以

$$\sigma(Z)=\sigma(X)$$

自从$Z=f(X)$所以

$$\sigma(Z) \subset \sigma(X)$$

因为$f$是内射的，所以$X=f^{-1}(Z)=g(Z)$所以

$$\sigma(X) \subset \sigma(Z)$$

所以$\sigma(Z)=\sigma(X)$或者$\sigma(f(X))=\sigma(X)$

现在

$$E(Y|X)=E(Y|\sigma(X))=E(Y|\sigma(f(X)))=E(Y|f(X))$$

假设$f$是可测量的 我认为最弱的条件是：

• 每当$\mathbb{E}(Y|X=x_1) \ne \mathbb{E}(Y|X=x_2), f(x_1) \ne f(x_2)$.