机器算法验证 - 如何建立和在哪里？|1n∑n我= 1X一世||1n∑i=1nXi|1n∑n我= 1|X一世|1n∑i=1n|Xi|X一世～N( 0 , 1 )Xi∼N(0,1) - 吾爱随笔录

如何建立和在哪里？|1n∑n我= 1X一世||1n∑i=1nXi|1n∑n我= 1|X一世|1n∑i=1n|Xi|X一世～N( 0 , 1 )Xi∼N(0,1)

机器算法验证数理统计正态分布期望值不等式

2022-04-09 21:48:23

令总体的随机样本。定义和. 和之间的关系。 $X_1, \ldots , X_n$ $N(0,1)$ $Y_1=|\frac1n \sum_{i=1}^nX_i|$ $Y_2=\frac1n\sum^n_{i=1}|X_i|$ $E(Y_1)$ $E(Y_2)$

我有一种感觉，我需要在这里使用 Jensen 的不等式。由于，线性组合。 $X_i \sim N(0,1)$ $\sum_{i=1}^nX_i \sim N(0,n)$

$E(Y_1)=\frac1n \cdot E(|\sum_{i=1}^nX_i|)$

$E(Y_2)=\frac1n \cdot E(\sum_{i=1}^n|X_i|)$

但是，我不太确定如何从这一步计算或，因为存在绝对值。我必须使用 cdf 方法吗？ $E(Y_1)$ $E(Y_2)$

2个回答

假设独立，则平均值也是正常的，即。它的绝对值是Half-normal，它的意思是。对于，我们可以直接找到期望值： $X_i$ $\frac{1}{n}\sum X_i$ $N(0,1/n)$ $E[Y_1]=\frac{\sigma\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}=\sqrt{\frac{2}{n\pi}}$ $Y_2$

E [Y_{2}] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E [| X_{i} |] = E [| X_{i} |] = \sqrt{\frac{2}{π}}

$E[Y_2]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n E[|X_i|]=E[|X_i|]=\sqrt\frac{2}{\pi}$

这意味着。我认为平等比不平等更好。 $\sqrt n E[Y_1]=E[Y_2]$

回答：

无论的分布如何， $X_1,...,X_n$

E Y_{2} \geq E Y_{1} .

$\mathbb{E} Y_2 \geq \mathbb{E} Y_1.$

细节：

对于任意个数 $n$ $X_1,..., X_n$

\sum_{i} | X_{i} | \geq | \sum_{i} X_{i} |

$\sum_i |X_i| \geq |\sum_i X_i|$

并将两边除以： $n$

\frac{1}{n} \sum_{i} | X_{i} | \geq \frac{1}{n} | \sum_{i} X_{i} | = | \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i} | .

$\frac{1}{n}\sum_i |X_i| \geq \frac{1}{n}|\sum_i X_i| = |\frac{1}{n}\sum_i X_i|.$

现在，关键字是'any'，这意味着如果我们对上述不等式两边取积分，则左侧的被积函数一致地高于右侧的被积函数，即

E Y_{2} = \int \frac{1}{n} \sum_{i} | X_{i} | d X_{1} . . . d X_{n} \geq \int | \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i} | d X_{1} . . . d X_{n} = E Y_{1} .

$\mathbb{E} Y_2 = \int \frac{1}{n}\sum_i |X_i| dX_1 ...dX_n \geq \int |\frac{1}{n}\sum_i X_i| dX_1...dX_n = \mathbb{E} Y_1.$

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