首先注意随机变量$X_i$未在 0 上定义。所以现在假设$X_i$s 在正实数上定义。在正实数上，函数$f(x) = 1/x$是一个凸函数。因此，使用 Jensen 不等式，

$$E \left[\dfrac{1}{\sum X_i} \right] \geq \dfrac{1}{E\left[ \sum X_i \right]} = \dfrac{1}{\sum E\left[X_i\right]} \,.$$

现在 Jensen 不等式中的等式成立，如果$f$是仿射的（在这种情况下$f(x) = 1/x$不是）或者如果$\sum X_i$是退化随机变量，即常数。

使用凹度，可以在以下情况下使用类似的论点$X_i$s 都是在否定词上定义的。

我研究了一些方程式，最初的目的是证明它实际上是正确的，但最终说服自己它可能不是。如果它有用，这里的工作让我相信它可能并不普遍：

最初，我认为作为线性算子的期望会使证明真理变得容易。于是我写下了：

$$\def\Exp{\mathbb{E}} \Exp[A + B] = \Exp[A] + \Exp[B]$$

然后我调用了你的 lhs 表达式。所以我们有：$E_1$

$$E_1 = \Exp\left[ \frac{1} {\sum X_i} \right]$$

为了更进一步，我觉得我们需要对分布形成期望，所以假设我们有，其中。所以，我们有：$\def\X{\mathbf{X}}\X \sim g$$\X = \{X_1, X_2, \dots, X_n \}$

$$E_1 = \Exp_{\X \sim g}\left[ \frac{1}{\sum X_i} \right]$$

我们可以将期望扩展为集成（离散的或连续的，让我们以连续的情况为例）：

$$E_1 = \int_\X p(\X) \frac{1}{\sum X_i} \, d\X \\ = \int_\X \frac{p(\X)}{\sum X_i} \, d\X$$

就在这一点上，我想，好吧，似乎没有明显的方法可以将方程乘以或类似的。这并不能证明我们不能做类似的事情，但结合 Michael Chernick 的断言，我想这至少让我相信他的断言对我来说似乎不是不合理的。$\sum X_i$