我们有

$Y^n=(aX+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(aX)^k b^{n-k}$

所以

$\mathbb{E}Y^n=\mathbb{E}(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(aX)^k b^{n-k})=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b^{n-k} a^k \mathbb{E}X^k$。

其余的仍然是$X$是什么（即它的$\mathbb{E}X^k$矩是什么）。对于对数正态分布，我们有

$\mathbb{E}X^k=e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}$。

因此

$\mathbb{E}Y^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} b^{n-k} a^k e^{k\mu+k^2\sigma^2/2}$ .

我没有立即看到这是否具有封闭形式（有人可能会对此进行补充）。

你有，但是乘以仍然会给你一个对数正态，并没有真正改变任何东西。如果那么，所以如果你知道如何计算矩对于对数正态，您可以一样轻松地进行操作。$Y=aX+b$$a$$X\sim \text{logN}(\mu,\sigma^2)$$aX\sim \text{logN}(\mu+\log(a),\sigma^2)$$aX$$X$

所以对于问题减少到为一个简单的转变计算时刻，。$X\sim \text{logN}(\mu,\sigma)$$Y=X+\gamma$

你有一个原始时刻的答案，但我认为除了你想要中心时刻的平均值之外。

所以我们已经有了的平均值。$E(Y) = E(X)+\gamma$

中心时刻（以及它们的函数，如偏度或峰度）都不受位置偏移的影响。