机器算法验证 - 你如何计算混合对数正态分布的期望值？ - 吾爱随笔录

你如何计算混合对数正态分布的期望值？

机器算法验证期望值混合分布对数正态分布

2022-04-09 22:48:56

假设 $X=\log(Y)$ 可以由两个正态分布的混合建模，其中和的比例，其中和。 $p$ $X_1$ $1-p$ $X_2$ $X_1\sim\mathcal N(U_1, \sigma^2_1)$ $X_2\sim\mathcal N(U_2, \sigma^2_2)$

你如何计算 $E(Y)$ ; 即， $E(\exp(X))$ 其中 $X$ 是两个法线的混合？

2个回答

我将尝试为混合情况给出答案。让我们正式设置设置。我们考虑一个随机变量和一个指示随机变量，其中，独立于。此外，对于混合物，我们有给定定律是的定律，它是具有均值和方差的高斯分布；并且，如果，则该定律是的定律。 $X$ $I$ $P[I=1] = 1-P[I=2] = p$ $X$ $X$ $I=1$ $X_1$ $U_1$ $\sigma^2_1$ $I=2$ $X_2$ $N(U_2,\sigma^2_2)$

然后，对于，我们可以将期望计算为通过使用对数正态的期望。 $Y=\exp(X)$

\begin{aligned} E [Y] & = E [\exp (X)] = p E [\exp (X) | I = 1] + (1 - p) E [\exp (X) | I = 2] \\ = p E [\exp (X_{1})] + (1 - p) E [\exp (X_{2})] \\ = p \exp (U_{1} + σ_{1}^{2} / 2) + (1 - p) \exp (U_{2} + σ_{2}^{2} / 2) \end{aligned}

$\begin{align} E[Y] &= E[\exp(X)] = p E[\exp(X)|I=1] + (1-p) E[\exp(X)|I=2] \\ &= p E[\exp(X_1)] + (1-p) E[\exp(X_2)] \\ &= p \exp(U_1+ \sigma^2_1/2) + (1-p) \exp(U_2+ \sigma^2_2/2) \end{align}$

例如，如果您正在处理两组分混合物，则第一个矩计算如下：，其中代表分量的权重，代表均值。 $\mu_{\rm mixture}=\pi_{1} \cdot \mu_{1} + \pi_{2} \cdot \mu_{2}$ $\pi_{i}\ (i=1,2)$ $\mu_{i}\ (i=1,2)$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇两个相同变量的联合概率分布是多少下一篇双面置换测试与两个单面