$X$在没有联合密度函数的意义上，与自身不 联合连续(pdf)$f_{X,X}(s,t)$在具有坐标轴的平面中的正面积区域上具有正值$s$和$t$. 所有的概率质量都在斜率的直线上$1$通过原点（面积为零的区域）和联合累积概率分布函数 CDF 为

$$F_{X,X}(s,t) = P\{X \leq s, X \leq t\} = P\{X \leq \min(s,t)\} = F_X(\min(s,t)).$$ 正如 whuber 在对另一个答案的评论中指出的那样， 没有为定义。$\frac{\partial^2F_{X,X}(s,t)}{\partial s\partial t}$$s=t$

$F_{(X,X)}(t,s) = P[X \le t,X \le s] = P[X \le \inf(s,t)]$

$f(s,t) = \frac{ \partial ^2F_{(X,X)}}{\partial s \partial t}(t,s) = \frac{\partial^2 (P[X \le t] \Large{1_{\{s=t\}}})}{\partial^2 t }$

其中 更多关于指标函数推导的信息在这里$\frac{\partial \Large{1_{\{s=t\}}}}{\partial t}$ $= lim_{\sigma \mapsto 0} \frac{1}{\sqrt{2\sigma \pi}} e^{\frac{-s^2}{\sigma^2}}$

随机离散变量案例：

对于 Y=X，则 pij = 0 因为 xi 和 Xj 对于 i=j 和 pij=pi 对于 i=j 总是互斥的。因为 xi 和 xi 同时发生有 pi 机会。

所以 E[X^2] = E[XX] = Sum (xi^2*pi) 对于这两种情况