机器算法验证 - 期望值h ( X)h(X). 什么时候可以下单乙E和Hh倒置？ - 吾爱随笔录

机器算法验证期望值

2022-03-29 11:43:59

在处理计算随机回答的多项选择考试的预期成绩的典型练习时出现了这个疑问（其中给出了每个正确的答案 $p_1$ 分数和每个错误的答案 $-p_2$ 点）。

让 $X \sim \mathrm{Bi}(n,p)$ , 并考虑 $h(x)=p_1x -p_2(n-x)= (p_1-np_2)+(p_1+p_2)x$ .

在此示例中，以下等式成立：

$E[h(X)]=h(E[X])$ .

我的问题是：对于任何随机变量，这种等式是否总是正确的 $X$ 和任何功能 $h$ ? 如果不是，它的充分条件是什么？

例如：做事实 $X$ 是具有有限期望值的离散一维 rv 和 $h$ 作为一个线性（即仿射）函数总是意味着 $E[h(X)]=h(E[X])$ ?

1个回答

在实际分析和概率论中，有一个优雅的结果，称为Jensen 不等式。这说明对于任何随机变量 $X$ 和一个凸函数 $h$ 我们有

h (E [X]) \leq E [h (X)]

$h\left(\mathbb{E} [X]\right) \leq \mathbb{E} \left[ h(X) \right]$

如果不等式反转 $h$ 是凹的，即

h (E [X]) \geq E [h (X)]

$h\left(\mathbb{E} [X]\right) \geq \mathbb{E} \left[ h(X) \right]$

你的问题，我们什么时候有 $h\left(\mathbb{E} [X]\right) = \mathbb{E} \left[ h(X) \right]$ , 然后可以通过同时考虑凹函数和凸函数来回答。正如所指出的，仿射函数显然满足了这一要求，因为它们是唯一同时处处的凹函数和凸函数。

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