我需要计算以下积分：

$${1\over 2\pi i} \int_C f(E) \, d E$$ $$f(E) = {\rm Tr}\,\left(({\bf h} + E)\,{\bf G}(E) \right)$$ 在哪里$\bf h$是一个矩阵（一个粒子的动能和势能以基表示），$\bf G$是一个矩阵，取决于$E$（单粒子多体格林函数）和等高线积分是一个左半圆。被积体$f(E)$在负实轴上有极点，评估成本很高。计算这种积分的最有效方法是什么？

到目前为止，这是我的研究：

1）我使用高斯积分，我的积分路径是一个矩形。我固定了左侧和右侧（即宽度）并使用高度（实轴上方和下方）进行播放，这样对于给定的积分顺序，我可以获得最高精度。例如对于 20 阶，如果高度太大，精度会下降（显然），但如果太小，它也会下降（我的理论是随着高度的增加，两极周围需要越来越多的点0)。我为我的功能设置了最佳高度 0.5。

2）然后我将矩形的右侧设置为 E0，通常 E0=0，但也可以是 E0=-0.2 或类似的值。

3）我开始将矩形的左侧向左移动，并且对于每一步我都会进行积分顺序收敛，以确保我的积分对于每个矩形都完全收敛。通过增加宽度，我最终在无限左半圆的极限内得到一个收敛值。

计算真的很慢，而且对于大宽度也不是很准确。一项改进是将长宽度简单地划分为“元素”并在每个元素上使用高斯积分（就像在 FE 中一样）。

另一种选择是在每个极点周围集成一个小圆圈并将其汇总。问题：

a) 如何在数值上找到函数的极点$f(E)$? 它应该是健壮的。我唯一知道的是它们在负实轴上。对于其中一些（但不是全部），我也知道一个很好的初步猜测。是否存在适用于任何分析函数的方法$f(E)$? 还是取决于实际的形式$f(E)$?

b) 一旦我们知道了极点，什么数值方案最适合积分它周围的小圆？我应该在圆上使用高斯积分吗？或者我应该使用点的一些均匀分布？

另一种选择可能是，一旦我通过 a) 知道了极点，可能会有一些半解析的方法来获得残基，而不需要复杂的积分。但现在我很乐意优化轮廓整合。