计算科学 - 如何在有限差分法中施加边界条件 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限差分

2021-12-12 00:43:58

当我想使用高阶中心差近似时遇到问题：

(\frac{- u_{i + 2, j} + 16 u_{i + 1, j} - 30 u_{i, j} + 16 u_{i - 1, j} - u_{i - 2, j}}{12})

$\left(\frac{-u_{i+2,j}+16u_{i+1,j}-30u_{i,j}+16u_{i-1,j}-u_{i-2,j}}{12}\right)$

对于泊松方程

(u_{x x} + u_{y y} = 0)

$(u_{xx}+u_{yy}=0)$ 在一个正方形域中，其中边界条件为：

u (0, y) = u (x, 0) = u (x, 1) = 0, u (1, y) = \sin π y

$u(0,y)=u(x,0)=u(x,1)=0,u(1,y)=\sin \pi y$

Δ x = Δ y = 0.1

$\Delta{x}=\Delta{y}=0.1$

当我想获得域内点的值时，考虑到这个近似值，一些点取决于边界的外点。例如，的值需要是边界外的一个点。在这种情况下，有人可以帮助我吗？ $u_{1,1}$ $u_{i-2,j}=u_{-1,0}$

3个回答

还有其他模板可用于在边界点附近获得高阶精度。您当前的模板是以下形式：

$Au_{i+2,j} + Bu_{i+1,j} + Cu_{i,j}+Du_{i-1,j}+Eu_{i-2,j}$

但是，您也可以在边界附近使用不同的模板，如下所示：

$Au_{i+3,j} + Bu_{i+2,j}+Cu_{i+1,j}+Du_{i,j} +Eu_{i-1,j}$

计算处的值。请注意，第二个模板中的系数与第一个公式中的系数不同。 $u_{1,1}$

类似地，您可以通过类似的公式来近似相反边界处的值。

您可能需要研究按部分求和 (SBP) 有限差分方法。Ken Mattsson 在这些方法上做了很多工作。好的起点是这里（常数系数）和这里（可变系数）。

基本上这些方法的工作方式是它们是内部的标准中心方法，并过渡到边界附近的一侧。SBP 技术的一个重要部分是向单边的过渡使得即使在包含边界条件之后也可以证明时间相关问题的方法的稳定性。（这是可能的，因为运营商自己“定义”了一个规范，该规范模拟了部分离散集成。）

你说你在看泊松方程，我不完全确定边界条件如何稳定地包含在 SBP 算子和椭圆方程中。我有一个同事用这些来解决椭圆问题，似乎表明你做什么并不重要。

请参阅我的 fdm 论文，您可以在 researchgate 以我的名字 david Edwards jr 找到该论文。如果您有任何问题，我很乐意提供帮助。

大卫

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