的二维流形上集成一个函数；流形分析方面的书籍（如 Munkres 的易读书籍或 Lee 的流形书籍）有助于讨论定义这种积分类型的理论。$\mathbb{R}^{3}$

假设上定义的实值函数，它是您的 4 节点 3-D 元素。$f$$\mathcal{M}$

您要计算：

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

假设映射到的函数。然后$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

（我用这套笔记来刷新我的记忆。）上面，是 \varphi 的雅可比矩阵而是它的转置。$\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

上写出积分，你就可以使用数值方法来评估它。$[-1,1]^{2}$

一些评论：

• 我很确定您的 4 节点 3-D 元素是一个流形。如果是，则函数存在（根据定义），是分段连续的（对于拓扑流形），并且是可逆的。您可以自行决定是否找到具有这些属性的函数。$\varphi$
• 上述论证假设是一个光滑流形，这意味着存在一个连续可微在您的情况下，您描述的元素可能不是连续可微的。如果这是真的，你可能仍然可以将你的流形划分为两个光滑的流形，然后上面的论点仍然成立。同样，你必须找到满足可逆性和连续可微性的性质的$\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$