计算科学 - 具有非线性反应项的扩散方程有哪些可能的数值格式？ - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限元

2021-12-05 04:32:25

对于一些简单的凸域 $\Omega$ 在 2D 中，我们有一些 $u(x)$ 满足以下等式：

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$ 具有某些 Dirichlet 和/或 Neumann 边界条件。据我所知，在有限元空间中应用牛顿法将是数值求解该方程的一种相对直接的方法。

我的问题是：（1）在假设零狄利克雷边界条件的情况下，该方程的相应变分公式的适定性是否存在 Sobolev 理论？如果是这样，我们应该考虑什么 Banach 空间？(2) 这类方程有哪些可能的数值方法？

1个回答

我看到两种方法：

1) 任意 f(u)。只需将 f ~ f(u0) 放在等式的右侧，继续使用任何非线性求解器，不动点方案是一个不错的选择，因为无论如何您都没有雅可比行列式。最容易实现和使用，最通用，但性能可能较差，因为无法利用雅可比行列式（通常未知）。

2) f(u) 分解成级数（多项式，傅里叶）。更难实现和使用，对于某些特殊的 f 可能是困难/不可能的。但作为回报，您可以以类似牛顿的方法计算和利用雅可比行列式，这通常会带来卓越的性能。

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