计算科学 - FAS-multigrid 比线性缺陷校正慢？ - 吾爱随笔录

FAS-multigrid 比线性缺陷校正慢？

计算科学多重网格

2021-12-11 05:25:49

我已经使用线性缺陷校正 (LDC) 和完全近似方案 (FAS) 实现了 V-Cycle 多重网格求解器。

我的问题如下：使用 LDC，每个周期的残差减少了约 0.03 倍。FAS 实现也确实与线性因子收敛，但该因子仅为 ~0.58。因此 FAS 需要大约 20 倍的周期数。

大部分代码是共享的，唯一的区别是向下/向上计算，LDC使用

向下： $u_H:=0,\quad b_H:=I_h^H(b_h-L_hu_h)$

向上： $u_h:=u_h+I_H^hu_H$

和 FAS 使用

向下： $u_H:=I_h^Hu_h,\quad b_H:=I_h^Hb_h+L_HI_h^Hu_h-I_h^HL_hu_h$

向上： $u_h:=u_h+I_H^h(u_H-I_h^Hu_h)$

我的测试设置来自 Brigg 的“A Multigrid Tutorial, Second Edition”，p。64、有解析解

$u(x,y)=(x^2-x^4)(y^4-y^2) \quad$ 和 $x,y\in [0,1]^2$

方程是 $Lv=\Delta u=:b$ 使用典型的线性 5 点模板作为拉普拉斯算子 $L$ . 最初的猜测是 $v=0$ .

更改测试设置，例如更改为微不足道的 $u(x,y)=0$ 使用初始猜测 $v=1$ 导致几乎相同的收敛因子。

由于只有向下/向上代码不同，LDC 结果与本书相符，而且 FAS 至少似乎也可以工作，我不知道为什么它在相同的线性设置中要慢得多。

在 LDC 和 FAS 中都有一个我无法解释的奇怪行为，只有在最初的猜测错误的情况下才会发生（例如 $=0$ 而且在我的完整多网格实验中，对新细网格的插值会增加残差 $10^{-15}$ 到 $10^{-1}$ )：如果我将后校正松弛的数量增加到一个非常高的数量，以便解决方案在粗网格上解决机器精度问题，那么当进入下一个细网格时，它会丢失几乎所有数字。

因为一张照片胜过千言万语：

// first cycle, levels 0-4
// DOWN
VCycle top 4, start               res_norm 3.676520e+02 // initial residual
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 3.676520e+02
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.520312e+02 // relaxed (2 iterations)
VCycle tau_norm 2.148001e+01 (DEBUG calculation)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 1.049619e+02 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 5.050392e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 3.518764e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.759372e+01 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 1.234398e+01 // restricted
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 4.728777e+00 // relaxed (2 iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 3.343750e+00 // restricted
// coarsest grid
VCycle top 4, cycle 0, current 0, res_norm 0.000000e+00 // solved
// UP
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 3.738426e+00 // prolonged
VCycle top 4, cycle 0, current 1, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 1.509429e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 2, res_norm 2.512148e-15 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 4.695979e+01 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 3, res_norm 0.000000e+00 // relaxed (many iterations)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 1.469312e+02 // prolonged (loosing digits)
VCycle top 4, cycle 0, current 4, res_norm 9.172812e-24 // relaxed (many iterations)

我不确定每个周期是否只能获得几位数字，或者这是否表明在细网格插值过程中出现错误。如果是后一种情况，LDC 如何在始终使用 2 个松弛时实现约 0.03 的账面残差率？

3个回答

我不直接知道您的答案，因为我主要使用 FAS 而不是校正，因为我对非线性问题进行了多重网格处理，但是您可以考虑一些想法：

您正在将线性校正方案应用于线性问题，因此它做得很好并不令人震惊。
考虑您的边界条件：确保您正确地执行它们，并且还要注意复杂的 BC 在粗网格上看起来可能完全不同，使得那里的校正不是那么有用。
仔细检查您对源术语的处理；我记得当我为泊松写它时，在与该术语相关的延长阶段搞砸了一些东西。
我从未见过需要迭代以在最粗糙的网格上收敛。那里的解决方案取决于精细网格残差是否正确，但事实并非如此。您正在尝试将这些错误排除在域之外/将它们消除。如果您在早期迭代中完全收敛于最粗网格，那么您的解决方案自然与正确的精细网格解决方案相去甚远，因为您的残差不是最新的。这几乎肯定是您看到残差在延长阶段上升的原因。
此外，尝试为限制和延长运算符都设置一个松弛因子，例如 0.75。

如果有帮助，这就是我的 FAS 剩余历史对于使用单个网格通过完整 7V 周期的泊松问题的样子。我相信松弛因子是 0.75，并且我使用 3 阶段 RK 方案作为平滑器，在每个网格级别进行一次迭代。

水库历史

如果您正在使用以顶点为中心的离散化，那么状态限制应该是注入，而不是您使用的全加权残差限制。也就是说，更换 $I_h^H$ 和 $\hat I_h^H$ 限制状态时。对状态使用全权限制会产生状态高频分量的混叠，在应用后 $u^h \gets u^h (u^H - I_h^H u^h)$ 导致与粗校正前相同尺度的新噪声（边界条件尤其可能是造成这种影响的罪魁祸首）。使用注射， $\hat I_h^H u^h$ ，这个问题应该会消失。

光谱上，状态限制只需要高二级（准确保存低频），但一级（高频混叠）无关紧要。注入具有初级阶 0 和无限次阶。同时，剩余限制需要初级和次级顺序都是正的（至少）。请参阅Achi Brandt 的 Multigrid Guide 的第 4.3 节。

在设计 MG 方法时，最好关注误差而不是残差，并确保适当地加权规范。

我现在解决了问题。我存储了 $u_{old}^H=I_h^Hu^h$ 在 V 周期中下降并在稍后重用时

$u^h\leftarrow u^h+I_H^h(u^H-I_h^Hu^h)=u^h+I_H^h(u^H-u_{old}^H)$ .

问题是在再次下降之前 $H$ 到 $2H$ , $u_{old}^H$ 很放松的地方。在放松步骤之前存储一份副本会有所帮助。自从 $u_{old}^H$ 仅在 FAS 中需要，它没有出现在线性计算中。

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