我正在解决复杂的二维 PDE 系统，该系统控制放电期间气体灯中等离子体的行为。最近的测试表明，由于温度场的陡峭梯度和过程的整体爆炸性质，如果不向模型中添加气体动力学，我不会走得更远。据我的导师所知，超音速冲击会穿过 5mm 灯。据我了解，要考虑一些准确的解决方案，我首先必须实现某种网格细化算法。

我读过 Berger 和 Colella 的冲击流体动力学 LAMR、Colella 在伯克利的块结构 AMR 短期课程、Vakili 和 Martin 的 Structured AMR、Colella、Anghel 和 Alexander 的多尺度非平衡物理学 AMR。所以我知道在从粗网格到细网格的插值过程中必须执行一些不平凡的操作，在较细网格的半步之间进行同步，将较细网格平均到粗网格上，以及某种通量校正以保持守恒定律。

这就引出了一个问题：在自适应网格细化算法的时间步中究竟发生了什么？我希望得到完整的解释，但这里有一些可能会出现的具体问题：

考虑两级网格上的抛物线问题，$L_0$&$L_1$,$L_0$是粗的。

1. 为了获得最少的错误，我必须首先按时间步长推进 L0 问题是否正确$\tau$好像根本没有网格细化，然后插值得到$L_0$获取边界条件的数据$L_1$问题在$t+\frac{\tau}{2}$并提前$L_1$为了$\frac{\tau}{2}$，然后对 L0 数据进行插值$L_1$问题在$t + \tau$并提前$L_1$再走半步，然后平均$L_1$数据到 L0 网格并更正$L_0$与 L1 边界相邻的点用于通量守恒，使用$L_1$数据？我是否正确理解那些通量修正不会进一步传播到粗网格中？

   1.a. 校正期间$L_0$数据使用$L_1$, 我要重新计算所有$L_1$- 同时与 L0 点接壤，或者我可以使用更正的数据$L_0$ $X$-点与平均数据一起$L_1$在我更正时的网格$Y$- 邻接点$X$? （为了说明：我说的是类似于同步和异步 Hopfield 网络之间的差异）。

   1.b。如果有可能，我如何为椭圆任务同步网格？辐射传输也是我系统的重要组成部分。

2. 如何在精细网格边界上生成边界条件？

   2.a. 在我读过的一些论文中，我注意到类似于“如果可能，边界条件取自同级网格或更精细”的短语。如果在我更新第一个的那一刻，这怎么可能$L_k$网格我还没有来自其他的任何数据$L_k$或者$L_{k+1}$网格？

   2.b。如果精细边界的概念是不可能的或导致重大错误，那么我是否必须合并那些接触的精细网格并解决非矩形网格上的问题？

   2.c。如果我要求解非矩形网格，除了迭代之外，还有哪些 SLAE 求解器适用于稀疏矩阵？我正在使用针对块三对角矩阵修改的 Thomas 算法，但据我了解，通用非矩形网格的矩阵不会是三对角矩阵。