我以前遇到过类似的问题，但我更担心速度而不是准确性（请参阅此处的论文）。如果你的角度$\vartheta$是一个结果$\arccos(\cdot)$，这在几何计算中经常出现，您可以使用Chebyshev 多项式，其定义为

$$T_k(x) = \cos(k\arccos(x)), \quad \mbox{or} \quad T_k(\cos(\vartheta)) = \cos(k\vartheta)$$

并且可以使用三项递归关系快速稳定地评估

$$T_k(x) = 2xT_{k-1}(x) - T_{k-2}(x), \quad T_0(x) = 1, \quad T_1(x) = x.$$

因此，对于您的问题，您可以评估$\cos(m\vartheta)$在$m+1$乘法和加法，只要你有$\cos(\vartheta)$.

如果你做它迭代，通过计算\和，浮动点误差不会因累积而爆发。这是因为转移矩阵是正交的。它是一个简单的旋转矩阵。$\sin(n \theta)$$\cos(n \theta)$$\sin((n - 1) \theta)$$\cos((n - 1) \theta)$

我更喜欢的过程，我也看到一些 FFT 实现使用它，也涉及三项递归，但比计算更稳定一点$\cos\,kx$和$\sin\,kx$从以前的前辈。（在Bulirsch/Stoer中对这些重复进行了很好的分析；请参见示例 2 和示例 3。查看不稳定性的几何方法是，尽管您一开始绘制了一个近似圆，但从长远来看，您实际上会失去控制.)

重复（实际上与 Bulirsch/Stoer 中的示例 4 相同，请参阅详细分析）如下进行：

$$\begin{align*} \cos(\theta+\varepsilon)&=\cos\,\theta-(p\cos\,\theta+q\sin\,\theta)\\ \sin(\theta+\varepsilon)&=\sin\,\theta-(p\sin\,\theta-q\cos\,\theta) \end{align*}$$

我们有预先计算的常数

$$p=2\sin^2\frac{\varepsilon}{2},\qquad q=\sin\,\varepsilon$$

如前所述，它们的表现非常出色，尤其是在以下情况下$\varepsilon$很小。