我的问题可能过于笼统，无法用几句话来回答。在这种情况下，您能否建议一个好的阅读材料。投影方法用于减少问题的解决方案空间的大小。并且至少有两个非常有趣的应用程序（从我的角度来看）。第一个是求解连续介质力学问题（有限元，Ritz 方法），第二个是求解线性方程组（Krylov 子空间方法）。
问题如下：是否有理论或分析的某些部分研究投影方法的所有应用？如果是这样，是否可以从这个起点构建其他方法，例如有限体积方法？
我在大学学习过有限元分析，但目前，所有离散的近似值都像是一组孤立的“工具”，我可以在某些特定情况下使用它们。谢谢。
Galerkin 方法（从给定的子空间中寻找近似值使得残差与另一个给定的子空间正交) 确实非常普遍（并且不限于有限维空间）。在偏微分方程的数值解的上下文中，基本上有两个条件：和必须满足：
离散问题必须有唯一解；这通常需要验证所谓的inf-sup-conditions。（在标准的 Ritz-Galerkin 方法中，这基本上是Lax-Milgram 定理；对于线性系统, 这相当于并且没有向量是-正交于.)
离散化误差必须随着维数变小和增加。这需要子空间的某些近似属性。通常，人们采用分段多项式的空间（如标准有限元方法），但其他选择也是可能的（例如，谱方法）。（类似地，线性系统的投影方法通常基于 Krylov 空间，因为它们具有很好的近似属性。）
事实上，（某些）有限体积方法可以描述为不连续的 Galerkin 方法（其中和/或由分段常数函数组成。
大多数关于有限元方法的现代数学教科书都遵循这种方法。两个很好的例子是
（我特别喜欢后者，因为它采用了非常通用的 Galerkin 方法，包括混合和混合有限元以及不连续的 Galerkin 方法。）
对于线性系统，Saad 的书中对投影方法进行了很好的一般性讨论。
对于微分方程的解，根据 Crandall (1956) 提出并在 Finnlayson 和 Scriven (1966) 的第一次评论中描述的加权残差方法 (MWR) 进行思考可能是有用的
“加权残差法统一了目前正在使用的许多求解微分方程的近似方法。”
和
“加权残差法是一种工程师工具，用于寻找分布式系统变化方程的近似解。”
简而言之，MWR 方法系统地统一了几种常见的离散化方法。
这是你想的吗？
对于线性方程组的求解，我将 Krylov 子空间方法视为构建投影方法的一般方法。这些方法中最特定于问题的部分是选择用于加速收敛的预处理器——这通常是特定于问题的如何做出选择。