计算科学 - Chebyshev级数导数的Clenshaw型递归 - 吾爱随笔录

计算科学数值分析稳定切比雪夫

2021-11-30 18:17:14

切比雪夫级数的天真总结

\begin{aligned} f (x) = \frac{c_{0}}{2} + \sum_{k = 1}^{n - 1} c_{k} T_{k} (x) \end{aligned}

$\begin{align*} f(x) = \frac{c_0}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} c_{k}T_{k}(x) \end{align*}$ 已知使用三项递归来评估切比雪夫多项式在数值上不稳定

x = \pm 1

$x=\pm 1$ . 出于这个原因，Clenshaw 提出了一种避免这种不稳定性的算法。请参阅Clenshaw 的原创作品和特殊功能的数值方法的算法 3.1 中的说明。

是否有文献提出了一种数值稳定的方法来评估切比雪夫级数的导数，也许使用与上述 Clenshaw 递归的类比？还是天真的方法稳定？

1个回答

你可以接受克伦肖的复发

u_{k} (x) = 2 x u_{k + 1} (x) - u_{k + 2} (x) + a_{k}, f (x) = x u_{1} (x) - u_{2} (x) + a_{0}

$u_k(x) = 2xu_{k+1}(x)-u_{k+2}(x)+\color{red}{a_k},\\ f(x) = x u_1(x)-u_2(x)+\color{red}{a_0}$ 并直接区分：

u_{k}^{'} (x) = 2 x u_{k + 1}^{'} (x) - u_{k + 2}^{'} (x) + 2 u_{k + 1} (x), f^{'} (x) = x u_{1}^{'} (x) - u_{2}^{'} (x) + u_{1} (x) .

$u_k'(x) = 2xu_{k+1}'(x)-u_{k+2}'(x) + \color{blue}{2u_{k+1}(x)},\\ f'(x) = x u_1'(x)-u_2'(x) + \color{blue}{u_1(x)}.$ 请注意，现在部分和的导数，

u_{k}^{'} (x)

$u_k'(x)$ 满足完全相同的递归，除了系数

a_{k}

$a_k$ 被替换为

2 u_{k + 1} (x)

$2u_{k+1}(x)$ . 这意味着导数的级数可以写成切比雪夫级数

f^{'} (x) = \frac{1}{2} u_{1} (x) + \sum_{k \geq 1} 2 u_{k + 1} (x) T_{k} (x) .

$f'(x) = \tfrac12 u_1(x) + \sum_{k\geq1} 2u_{k+1}(x)T_k(x).$

由于 Clenshaw 的递归准确地评估了 Chebyshev 级数，因此它将评估带有系数的 Chebyshev 级数 $2u_{k+1}(x)$ 也很准确，不需要单独分析。使用霍纳规则对多项式进行微分时会发生非常相似的事情。

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