我也将把这个问题放在数学交换和堆栈交换上（因为它并不真正适合任何特定领域，我不知道它应该放在哪个领域），但问题是：

我正在寻求评估给定点的球谐函数，但要根据局部坐标系。让实际点被调用$(x_g, y_g, z_g)$（“全球”点）。现在，我有一个以原子为中心的原子，比如说，$(x_{at}, y_{at}, z_{at})$它有一个以下列方式定义的局部坐标系：

(1) z 轴由从给定原子中心到选定原子的向量定义（例如，atom1 的 z 轴定义为从 atom1 到 atom5 的向量）

(2) y 轴由位于第二个原子定义的平面中的正交向量定义（例如，atom1 的 y 轴定义为位于第一个向量和从 atom1 到 atom3 的向量定义的平面内） . 这是通过简单的克施密特正交化来完成的。

(3) x 轴由前两个向量的简单叉积定义。

（请注意，所有向量都是标准化的）。

现在，查找此信息将为您留下一个 3x3 矩阵，该矩阵定义了定义给定轴的“端点”的点。所以局部坐标矩阵（对于给定的原子）可以定义为：

假设“零”点（或局部坐标系的中心）是$(x_{at}, y_{at}, z_{at})$.

现在，给定这些信息，在全局坐标系中某个点的局部坐标系中评估球谐函数（或任何函数）的最佳方法是什么。所以，例如，我想评估一个点$(x_g, y_g, z_g)$但“x”方向定义为$(x_x, x_y, x_z)$等等。