我想知道对特征方法使用高阶插值器的效果。我正在解决

但是，这是针对“无限细化网格”的情况，也就是说，如果我知道函数的任何值$x$在上一个时间步。相反，考虑一个网格$x_i:i\in\{1,N\}$并及时前进。由于特征不能完美地跨越节点，我必须进行插值。我可以选择线性插值，但想采取更高的顺序来提高插值的准确性。

假设我选择一个分段二次多项式。那么插值点处的值可能会高于或小于区间端点处的值，因此极值会逐步放大。我可以人为地将插值限制在$\min_{x\in I} u$和$\max_{x\in I} u$以防止这种增长（其中$I$是特征在前一个已知时间相交的区间）。

有两个问题我想知道答案：

1. 看起来如果我采用比线性插值器更高的阶数，特征方法会随着值的增长而失去稳定性，因为我拟合的抛物线的最大值或最小值可能超出端点值的范围（假设我有类似的东西$\sin(x)$) 作为初始配置文件？所以在这种情况下它不是那么有效，如果我保持插值线性，我不能比一阶收敛做得更好。

2. 人为限制取值范围是否会影响二次插值的准确性？如果在限制之前精度是二阶的，我是否通过“挤压”该值在区间内的最大值和最小值之间来降低精度？我想知道我是否可以做具有二阶精度的特征方法？