计算科学 - 冻结系数法及其与冯诺依曼稳定性分析的关系 - 吾爱随笔录

我正在考虑两个方程

u_{t} = a (x) u_{x x}

$u_t=a(x)u_{xx}$ 和

v_{t} = b (x) v_{x}

$v_t=b(x)v_x$ 作为抛物线和双曲线方程组的经典代表。如果

a (x) = a

$a(x)=a$ 和

b (x) = b

$b(x)=b$ 是常数，为了显示我用于这些方程的任何有限差分方案的稳定性，我可以使用傅里叶或所谓的冯诺依曼稳定性分析，即必须计算放大因子的大小。

但是，在可变系数的情况下，其中 $a=a(x)$ 和 $b=b(x)$ ，我有些困惑。从 Strikwerda 的书（有限差分方案和偏微分方程）第 59 页，它说可以使用冻结系数的方法，即冻结每个网格点的值，使用傅里叶分析并推断变量系数的稳定性。另一方面，在 Ascher （进化微分方程的数值方法）一书中，第 153 页它说即使该方法在常数系数下是稳定的，那么它并不一定意味着变量系数的稳定性。

因此，我看到了两本书之间的矛盾。我的问题是我看到了冯诺依曼分析是如何工作的，我想知道我是否也可以将它与可变系数 PDE 一起使用。如果可以的话，我正在查看的两个方程是否相同，或者两者在冻结系数的方法方面存在一些差异？基本上，冯诺依曼稳定性分析对抛物线和双曲线方程的限制在哪里？