我想求解以下表达式（用于获得工件内部电流分布的解析解）：

$$a_{mn} = -\frac{\frac{4}{ab} \int_0^a \int_0^b f(x',y')\sin(px')\sin(qy')\mathrm{d}x'\mathrm{d}y'}{t\sinh(tc)}$$

这里。$a$ , $b$是标量常数，$p = \frac{m\pi}{a}$ , $q = \frac{n\pi}{b}$ , $t=\sqrt{p^2+q^2}$。

函数$f$是一个高斯分布： $f(x,y) = \frac{I_0d}{\pi\sigma^2} \exp(-\frac{r^2d}{\sigma^2})$

我想知道使用辛普森方法是否是解决双重积分的最聪明的方法。是否存在计算效率更高的替代解决方案？

附加信息：得到的矩阵$a_{mn}$用于以下无限级数以获得最终结果： $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty a_{mn}p\cos(px)\sin(qy)\cosh(tz)$