计算科学 - (A + cI) 矩阵的条件数 - 吾爱随笔录

计算科学条件数

2021-12-20 00:48:39

对于给定的矩阵，单位矩阵和常数是否可以在知道和？ $A \in R^{n\times n}$ $I$ $c > 0$ $cond(A + cI)$ $cond(A)$ $c$

2个回答

几乎没有任何联系。首先，条件数取决于使用的规范。其次，即使在固定范数中，特征值也不能说明条件数。

在 2-范数中，条件数是最大奇异值与最小奇异值之比。对于对称正定矩阵，这成为最大和最小特征值的比率。

我把它作为一个简单的练习，如果是对称正定的，并且您知道某些和的条件，您可以计算所有的。 $A$ $A$ $A+c_0I$ $c_0>0$ $A+cI$ $c>0$

这取决于实际的特征值，所以没有。反例：

A_{1} = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}], A_{2} = [\begin{matrix} 100 & 0 \\ 0 & 200 \end{matrix}]

$A_1 = \begin{bmatrix} 1&0\\ 0&2 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 100&0\\ 0&200 \end{bmatrix}$ 两个矩阵的条件数都是 2，但是当

c I

$cI$ 被添加，

cond (A_{1} + c I) = \frac{2 + c}{1 + c}

$\mbox{cond}(A_1 + cI) = \frac{2+c}{1+c}$ 尽管

cond (A_{2} + c I) = \frac{200 + c}{100 + c}

$\mbox{cond}(A_2 + cI) = \frac{200+c}{100+c}$ .

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