计算科学 - 向量型拉普拉斯方程的弱形式是什么？ - 吾爱随笔录

计算科学有限元 pde

2021-12-15 01:22:09

对于标量变量 $u$ ，以下拉普拉斯算子的弱形式：

\nabla^{2} u = 0

$\nabla^2 u =0$ 假设

v

$v$ 消失在边界是

\int \nabla v . \nabla u d Ω = 0

$\int \nabla v . \nabla u \, d\Omega = 0$ 这是您最可能熟悉的东西，但如果

u

$u$ 是一个向量，我似乎无法得到一个一致的弱形式，我会解释。

考虑以下向量拉普拉斯方程：现在这可以分解为二维中的两个方程：我们可以从上面的每个方程中得到弱点：这也是直截了当的。

\nabla^{2} u = 0

$\nabla^2 \boldsymbol{u}=\boldsymbol{0}$

\begin{aligned} \nabla^{2} u_{1} = 0 \\ \nabla^{2} u_{2} = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \nabla^2 {u_1}=0 \\ \nabla^2 {u_2}=0 \end{aligned}$

\begin{aligned} \int \nabla v_{1} . \nabla u_{1} d Ω = 0 \\ \int \nabla v_{2} . \nabla u_{2} d Ω = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \int \nabla v_1 . \nabla u_1 \, d\Omega = 0 \\ \int \nabla v_2 . \nabla u_2 \, d\Omega = 0 \end{aligned}$

现在我的问题是这个。如果我想将拉普拉斯算子保持为向量形式并发现它是弱形式，我会写：（在这里是一个标量）并扩展系统给出：这与我之前写的不一致。在上面的弱扩展系统中，我可以将系统的每个方程与不同的测试函数和相乘，但我现在不能这样做，这感觉很奇怪。我还尝试与一个向量测试函数相乘，它给出了这样的结果：

\int \nabla v . \nabla u d Ω = 0

$\int \nabla {v} . \nabla \boldsymbol{u} \, d\Omega = \boldsymbol{0}$

v

$v$

\begin{aligned} \int \nabla v . \nabla u_{1} d Ω = 0 \\ \int \nabla v . \nabla u_{2} d Ω = 0 \end{aligned}

$\begin{aligned} \int \nabla v . \nabla u_1 \, d\Omega = 0 \\ \int \nabla v . \nabla u_2 \, d\Omega = 0 \end{aligned}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

\int \nabla v . \nabla u d Ω = 0

$\int \nabla \boldsymbol{v} . \nabla \boldsymbol{u} \, d\Omega = 0$ 但它也似乎不正确，因为 grad v 和 grad u 是矩阵，相乘时会导致矩阵，但右侧是零标量。奇怪的是，这失败了。

那么有人可以告诉我向量值拉普拉斯算子的弱点吗？

1个回答

当您为每个单独的组件写下来时，您对向量类型方程的推理是正确的。发生的情况是您需要将插值基函数和测试函数编写为向量。

因此，从：强积分形式为：

\nabla^{2} u = 0

$\nabla^2 \mathbf{u} =0$

\int v \cdot \nabla^{2} u d Ω = 0

$\int \mathbf{v} \cdot \nabla^2 \mathbf{u} \, d\Omega = 0$

其中和是向量。这也可以写成： $\mathbf{v}$ $\mathbf{u}$

\int v \cdot (\nabla \cdot (\nabla u)) d Ω = 0

$\int \mathbf{v} \cdot (\nabla \cdot (\nabla \mathbf{u})) \, d\Omega = 0$

这里重要的是要理解是二阶张量。你可以用爱因斯坦的符号写成：请注意，在张量形式中，这与我们通常写成向量值函数的梯度或雅可比有点不同。它实际上是它的转置。例如，请参阅Bird、Stuart 和 Lightfoot的书，了解对此的明确定义。 $\nabla \mathbf{u}$

\nabla u = \partial_{i} u_{j}

$\nabla \mathbf{u} = \partial_i u_j$

假设在边界处消失，通过部分积分，您将得到： $\mathbf{v}$

\int \nabla v : \nabla u d Ω = 0

$\int \nabla \mathbf{v} : \nabla \mathbf{u} \, d\Omega = 0$

其中是双点积（或双收缩），您可以在此处或在 Bird、Stuart 和 Lightfoot的书中再次找到对此的扩展讨论。 $:$

简而言之，两个二阶张量和的双点积由下式给出：其中隐含地假设重复索引被求和. 结果是一个标量。如果你不熟悉爱因斯坦的符号，上面的 BSL 参考书有一个很好的部分专门介绍它。甚至还有一个不错的wiki 页面上面的积分可以用爱因斯坦的符号写成： $\mathbf{a}$ $\mathbf{b}$

c = a_{i j} b_{j i}

$c = a_{ij} b_{ji}$

c

$c$

\int (\partial_{i} v_{j}) (\partial_{j} u_{i}) d Ω = 0

$\int (\partial_i v_j) (\partial_j u_i) \, d\Omega = 0$

你也可以用矩阵转置来写它，但我发现用爱因斯坦的符号来解释这个概念要容易得多。一旦你开始操纵二阶或更高阶的张量，使用这种方法就会变得容易得多。

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