计算科学 - 选择不连续 Galerkin 的惩罚 - 吾爱随笔录

选择不连续 Galerkin 的惩罚

计算科学不连续-galerkin

2021-12-17 02:12:49

所以我试图用不连续伽辽金法（内部惩罚法）解决 3D 泊松问题。弱形式（用FEniCS编写）如下：

a = dot(grad(v), grad(u))*dx \
  - dot(avg(grad(v)), jump(u, n))*dS \
  - dot(jump(v, n), avg(grad(u)))*dS \
   + alpha/h_avg*dot(jump(v, n), jump(u, n))*dS \
   - dot(grad(v), u*n)*ds(1) \
   - dot(v*n, grad(u))*ds(1) \
   + (gamma/h)*v*u*ds(1)
L = v*f*dx - u0*dot(grad(v), n)*ds(1) + (gamma/h)*u0*v*ds(1) + g*v*ds(2)

其中 u/v 是试验/测试函数，u0 是 Dirichlet BC，g 是 Neumann BC，h 是像元大小，n 是 facet normal，alpha 和 gamma 是惩罚。

对于许多 2D 单位平方问题，例如未记录的 FEniCS/DOLFIN 示例之一，我已经看到 alpha 和 gamma 分别设置为 4 和 8，但是当我处理 3D 问题时，我需要更高的值，例如 40 和 80。我系统地确定 alpha 和 gamma 的值需要是什么？

1个回答

惩罚通常按比例计算 $O(p^2/h)$ 对于多项式不连续 Galerkin 方法，无论维度如何，但对于更精确的常数，通常足以使惩罚足够大以保证相对于 DG 范数的矫顽力。 Shahbazi给出了对给定面的惩罚的表达式，这取决于 $p$ 和简单元素的体积/面的几何映射因子，然后由Epshteyn 和 Riviere 对其进行细化以包括网格角度。

为简洁起见，Shahbazi 的惩罚常数 $\gamma_f$ 在给定的脸上 $f$ 大致是

γ_{f} = max (c_{K^{+}}, c_{K^{-}})

$\gamma_f = \max(c_{K^+},c_{K^-})$

其中是共享该公共面的元素，是每个元素的顺序相关常数 $K^+, K^-$ $c_K$

c_{K} = \frac{(p + 1) (p + d)}{d} \frac{Area of face}{Volume of element} .

$c_K = \frac{(p+1)(p+d)}{d}\frac{\text{Area of face}}{\text{Volume of element}}.$

面面积与元素体积之比为，因此这具有预期的缩放比例（您也可以通过将非边界面的贡献缩放 1/2 来稍微锐化这一点）。您也可以将全局惩罚作为单个惩罚的最大值，但这可能会使条件恶化。 $\approx h$ $O(p^2/h)$

我不太确定最佳常数是什么，因为它对于 SIPDG 公式的适定性并不是绝对必要的。 $\alpha$

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