计算科学 - 混合边界条件有限元法 - 吾爱随笔录 - 问答

混合边界条件有限元法

计算科学有限元边界条件

2021-11-25 03:35:34

我在有限元方法中有以下问题

- (α u^{'})^{'} + β u^{'} + γ u = f

$-(\alpha u')' + \beta u' + \gamma u = f$

和 $\Omega = (0, 1)$ ,和 $u(0) = 0$ $u'(1) = 3$

为了能够写出问题的弱表述，我需要提升功能吗？

即，我是否需要定义类似

\tilde{u} = u - R

$\tilde u = u - R$

在按部分集成后我被卡住了，我得到了类似的东西：

- [(α u^{'} v)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} α u^{'} v^{'}] + β \int_{0}^{1} u^{'} v + γ \int_{0}^{1} u v = \int_{0}^{1} f v

$- \Big [(\alpha u' v) _0^1 - \int_0^1 \alpha u' v' \Big ] + \beta \int_0^1 u' v + \gamma \int_0^1 u v = \int_0^1 f v$

$\forall v \in V = H_{\Gamma_D}^1 (0,1)$

为了摆脱第一项并具有双线性形式，当时，下限消失，但对于上限我得到并没有消失，如何进行？

(α u^{'} v)_{0}^{1}

$(\alpha u' v) _0^1$

a (u, v)

$a(u,v)$

v (0) = 0

$v(0) = 0$

- α u^{'} (1) v (1)

$- \alpha u' (1) v(1)$

1个回答

对于第二项，您可以插入 Neumann 边界条件以获得。由于可以评估该术语（对于给定的测试函数），它成为右手边的一部分：弱公式是找到使得对于所有。 $\alpha u'(1)v(1)$ $u'(1) = 3$ $3\alpha v(1)$ $v$ $u\in H^1_{\Gamma_D}(0,1)$

\int_{0}^{1} u^{'} (x) v^{'} (x) d x + β \int_{0}^{1} u^{'} (x) v (x) d x + \int_{0}^{1} u (x) v (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) v (x) d x + 3 α v (1)

$\int_0^1 u'(x)v'(x) dx + \beta \int_0^1 u'(x)v(x) dx + \int_0^1 u(x)v(x) dx = \int_0^1 f(x) v(x) dx + 3\alpha v(1)$

v \in H_{Γ_{D}}^{1} (0, 1)

$v\in H^1_{\Gamma_D}(0,1)$

请注意，在二维和更多维中，由部分积分产生的项是其中可以是矩阵，处的单位外向法线。要处理该术语，您需要在，而不仅仅是正常的导数。

α (x) \nabla u (x) \cdot ν (x) v (x), x \in Γ_{N},

$\alpha(x)\nabla u(x)\cdot \nu(x) v(x), \qquad x\in\Gamma_N,$

α

$\alpha$

ν (x)

$\nu(x)$

x

$x$

α \nabla u \cdot ν = g

$\alpha\nabla u\cdot \nu = g$

Γ_{N}

$\Gamma_N$

\nabla u \cdot ν

$\nabla u\cdot \nu$

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