前几天，我问约束怎么样 $A^T A = I$如果希望对以下形式的微分方程进行积分，则可以实现$\dot{A}=f(A,t)$. Kirill 非常友好地指出，在一个积分步骤之后（例如在一个 Runge Kutta 步骤之后）在 Stiefel 流形上的投影步骤足以获得正确的解决方案。这个投影$\pi(A)$可以通过矩阵的极性分解找到$A$.

现在我的问题是，为什么一个完整的 RK 步骤后的投影就足够了。例如，如果使用四阶 RK 方法，则使用中间采样点。这些中间点不一定满足约束$A^T A = I$. 为什么我不必在一个中间步骤后重新正交化矩阵 A 而只在一个完整的 RK4 步骤之后？这仍然是有效的四阶方法，还是因为中间采样点没有满足约束而引入了额外的错误？

像Higham (1997)的那篇论文似乎表明，在流形上的投影之间使用任何一步法都是完全可以的，并且不会损失准确性。我不明白为什么这是真的。