计算科学 - Matlab：求解你吨= f（你）你x x+克（你）你X+ h (你)你ut=f(u)uxx+g(u)ux+h(u)u - 吾爱随笔录

Matlab：求解你吨= f（你）你x x+克（你）你X+ h (你)你ut=f(u)uxx+g(u)ux+h(u)u

计算科学 pde matlab

2021-12-02 05:27:08

我正在尝试以数字方式求解以下方程：

\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{3}{x} \frac{\partial}{\partial x} (\sqrt{x} \frac{\partial}{\partial x} (ν (u, u^{2}, \dots, u^{k}) u \sqrt{x}))

$\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac 3 x\dfrac \partial{\partial x}\left(\sqrt x \frac \partial {\partial x}(\nu(u,u^2,\cdots,u^k)u\sqrt x)\right)$

以扩展形式表示，它是：

u_{t} = 3 ν (u, u^{2}, \dots) u_{x x} + (6 ν_{x} (u, u^{2}, \dots) + \frac{3 ν (u, u^{2}, \dots)}{2 x}) u_{x} + (ν_{x} (u, u^{2}, \dots) (3 + \frac{1}{2 x}) + \frac{3 ν (u, u^{2}, \dots)}{x})

$u_t=3\nu(u,u^2,\cdots)u_{xx}+\left(6\nu_x(u,u^2,\cdots)+\dfrac{3\nu(u,u^2,\cdots)}{2x}\right)u_x+\left(\nu_x(u,u^2,\cdots)\left(3+\dfrac 1 {2x}\right)+\dfrac{3\nu(u,u^2,\cdots)}{x}\right)$

在哪里 $u$ 是一个函数 $u=u(t,x)$ . $\ \nu$ a 是一个非线性函数 $u$ 和另一个变量，但对于给定的 $u$ 我可以得到它。

就稳定性、性能和准确性而言，解决此问题的最佳方法是什么？我在 MATLAB 中尝试线的方法，但我一直没有取得任何进展。

2个回答

如果您确定您的 PDE 姿势正确，那么我建议您执行以下操作：

首先尝试使用显式有限差分格式进行离散化。
如果您发现您得到不合理/不稳定的解决方案，请尝试使您的时间步长与您的空间步长相比非常小（几个数量级）。
如果这仍然不起作用，请尝试使用隐式有限差分方案。由于您的方程是非线性的，因此最好使用牛顿法求解。
如果所有其他方法都失败了，请检查您的问题是否恰当。您可能想尝试证明/反驳您的问题的解决方案存在并且对于您施加的初始/边界条件是唯一的。

在不知道你的情况下很难给出具体的建议 $\nu(u,u^2,\dots)$ 确实看起来，但是如果您在 Matlab 中，您可能想尝试Chebfun系统，该系统使用搭配谱方法和自动微分来求解线性和非线性 ODE，在某些情况下，还可以求解 PDE。

如果您安装 Chebfun，尝试您的示例的最快方法是启动chebguiODE 和 PDE 的图形用户界面，查看一些 PDE 示例并根据您自己的功能修改它们。

免责声明：我是 Chebfun 开发团队的一员 :)

更新

按照 Aron Ahmadia 的要求，我编写了一个小例子来展示如何计算 $\partial u/\partial t$ 为了 $\nu(u) = u + u^2$ 有边界条件 $u(1)=u(2)=1$ ：

% Make some (any) nu(u)
nu = @(u) u + u.^2;

% Set-up the differential equation for dudt
dudt = @(x,u) 3./x.*diff( sqrt(x) .* diff( nu(u).*u.*sqrt(x) ) );

% Create a chebop with that operator on [1,2]
N = chebop( dudt , [1,2] );

% Set some arbitrary boundary conditions
N.lbc = 1;
N.rbc = 1;

% Solve for some righ-hand side
u = N \ 1;
plot(u);

使用 Chebfun 生成的解决方案

语法可能有点神秘，但是，我还是建议您看一下chebgui，它具有更直观的语法并且更容易（也更有趣）玩。

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