计算科学 - 具有负特征值的雅可比非线性方程组的数值格式的稳定性 - 吾爱随笔录

具有负特征值的雅可比非线性方程组的数值格式的稳定性

计算科学稳定非线性方程

2021-12-11 12:23:56

让我们假设我有一个 A 稳定的数值方案。我相信给定任何线性方程 $y' = Ay$ ，这意味着如果 A 的特征值具有负实部，则应用于该方程的数值格式是稳定的（因此收敛，因为它是一致的）。

那么我的问题是，这个结果是否扩展到非线性情况？我对一个系统特别感兴趣 $y' = f(y,t)$ 其中的雅可比行列式 $f$ 具有负实特征值 $\forall y$ .

编辑：另外我想我可以在这里举一个特定的例子（但我的问题不限于那种情况）：例如让我们说 ODE 描述了一个二阶化学反应网络，即 $f \in R^n \rightarrow R^n$ 是一个多项式函数 $y$ 2 阶，其中 $n$ 是物种的数量。考虑到网络，我能够证明雅可比行列式的特征值对于任何 $y$ ，但是我不知道我是否可以进一步论证任何 A-stable 方法都会收敛（顺便说一下，L-stable 方法、B-stable 方法...？）

1个回答

我要回答一个比你问的更普遍的问题：初始值 ODE 的特征值是否决定了解的稳定性？这里我指的是数学稳定性，而不是数值稳定性。当然，对这个问题“是”是对您的问题“是”的必要条件。不幸的是，答案是“不”。

一般来说，对于非线性和/或非自治问题，研究冻结线性化的特征值，即雅可比行列式 $t$ 固定，提供非常有用的见解。但是，有两个主要警告：

对于非正态矩阵，特征值并不能说明全部情况，必须考虑伪谱。这个警告甚至适用于线性、常数系数问题。参见Trefethen & Embree 的书。
存在解行为与特征值完全无关的系统的病态示例。我将举一个归因于 Vinograd 的示例：

y^{'} (t) = A (t) y (t)

$y'(t) = A(t) y(t)$

和

A (t) = (\begin{matrix} - 1 - 9 \cos^{2} (6 t) + 6 \sin (12 t) & 12 \cos^{2} (6 t) + \frac{9}{2} \sin (12 t) \\ - 12 \sin^{2} (6 t) + \frac{9}{2} \sin (12 t) & - 1 - 9 \sin^{2} (6 t) - 6 \sin (12 t) \end{matrix})

$A(t) = \begin{pmatrix} -1-9\cos^2(6t)+6\sin(12t) & 12\cos^2(6t) + \frac{9}{2}\sin(12t) \\ -12\sin^2(6t) + \frac{9}{2}\sin(12t) & -1 - 9 \sin^2(6t)-6\sin(12t) \end{pmatrix}$

的特征值 $A(t)$ 是 $\lambda=-1, -10$ - 独立于 $t$ . 但解决方案是

y (t) = C_{1} \exp (2 t) (\begin{matrix} \cos (6 t) + 2 \sin (6 t) \\ 2 \cos (6 t) - \sin (6 t) \end{matrix}) + C_{2} \exp (- 13 t) (\begin{matrix} \sin (6 t) - 2 \cos (6 t) \\ 2 \sin (6 t) + \cos (6 t) \end{matrix})

$y(t) = C_1 \exp(2t) \begin{pmatrix} \cos(6t) + 2\sin(6t) \\ 2\cos(6t)-\sin(6t) \end{pmatrix} + C_2 \exp(-13t) \begin{pmatrix} \sin(6t) - 2\cos(6t) \\ 2\sin(6t)+\cos(6t) \end{pmatrix}$

所以在这种情况下，特征值表明稳定性，但解决方案表现出无限的指数增长。有关此示例的概括的很好的讨论，请参阅这本优秀的书。它已绝版，但有时可以在亚马逊上以高昂的价格找到使用过的副本。

一些进一步的评论：我不知道表现出这种行为的非线性、自主的例子，很可能它们不存在。我也不知道应用程序中出现的示例。人们通常使用冷冻雅可比的特征值作为实践中稳定性的指标。

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